이차 및 고차 편미분
목차
편미분의 1차, 2차 및 고차 미분 계산을 예제와 그에 따른 풀이 과정과 함께 설명합니다. 특정 연속성 조건하에서 혼합 편미분의 동일성에 대한 클레로 정리를 예제를 통해 확인할 수 있습니다.
이차 및 고차 편미분은 기본적으로 다변수 함수를 하나 이상의 변수에 대해 여러 번 미분한 것입니다.
일차 편미분
함수 \(f(x, y)\)가 주어졌을 때, 일차 편미분은 다음과 같습니다:
\(x\)에 대한 편미분: \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\)
\(y\)에 대한 편미분: \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)
이차 편미분
일차 미분을 얻은 후, 이를 다시 미분하여 이차 미분을 얻을 수 있습니다. 이차 미분은 다음과 같습니다:
\(x\)에 대해 두 번 미분: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)
\(y\)에 대해 두 번 미분: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
\(x\)에 대해 미분한 후 \(y\)에 대해 미분: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
\(y\)에 대해 미분한 후 \(x\)에 대해 미분: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)
고차 편미분
마찬가지로, 미분을 계속하여 고차 편미분을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 함수 \(f\)의 세 번째 차수 편미분은 \(x\)에 대해 두 번, \(y\)에 대해 한 번 미분하면 \(\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2}\)와 같이 표시됩니다.
예제와 풀이
예제 1
다음 함수의 일차 및 이차 편미분을 계산하세요:
\[f(x, y) = x^2y + 3xy^2\]
예제 1의 풀이 과정
1. 일차 편미분
a. \(f\)를 \(x\)에 대해 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2) \\\\ = 2xy + 3y^2 \]
b. \(f\)를 \(y\)에 대해 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2) \\\\ = x^2 + 6xy \]
2. 이차 편미분
a. \(x\)에 대해 한 번 더 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy + 3y^2) = 2y \]
b. \(y\)에 대해 한 번 더 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 + 6xy) = 6x \]
c. \(x\)에 대한 편미분을 \(y\)에 대해 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\= \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy + 3y^2) = 2x + 6y \]
d. \(y\)에 대한 편미분을 \(x\)에 대해 미분하세요 (혼합 편미분이 연속적인 경우, 대칭성에 따라 3번 단계와 동일한 결과를 얻어야 합니다):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 + 6xy) = 2x + 6y \]
\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)임을 확인할 수 있으며, 이는 특정 연속성 조건하에서 혼합 편미분의 동일성에 대한 클레로 정리를 설명합니다.
예제 2
다음 함수 \(g(x, y) = e^{xy} + \sin(x)y^2\)의 일차 및 이차 편미분을 계산하세요.
예제 2의 풀이 과정
1. 일차 편미분
a. \(g\)를 \(x\)에 대해 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \\\\= ye^{xy} + \cos(x)y^2 \]
b. \(g\)를 \(y\)에 대해 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \\\\= xe^{xy} + 2y\sin(x) \]
2. 이차 편미분
a. \(x\)에 대한 편미분을 다시 \(x\)에 대해 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\=\dfrac{\partial}{\partial x}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= y^2e^{xy} - y^2\sin(x) \]
이 단계는 각각의 항에 대해 곱셈 규칙을 적용하여 미분합니다.
b. \(y\)에 대한 편미분을 다시 \(y\)에 대해 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= x^2e^{xy} + 2\sin(x) \]
여기서도 곱셈 규칙을 적용하며, 이번에는 지수 항과 삼각 함수 항이 \(y\)에 대해 어떻게 변하는지에 중점을 둡니다.
c. \(x\)에 대한 편미분을 \(y\)에 대해 미분하세요:
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
d. \(y\)에 대한 편미분을 \(x\)에 대해 미분하세요 (혼합 편미분이 연속적인 경우, 대칭성에 따라 3번 단계와 동일한 결과를 얻어야 합니다):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ =
\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
\(\dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\)라는 동일성을 확인할 수 있으며, 이는 특정 연속성 조건하에서 혼합 편미분의 동일성에 대한 클레로 정리를 설명합니다.
예제 3
함수 \(f(x, y) = x^3y^2 + x^2e^y\)에 대해 일차, 이차 및 두 가지 삼차 편미분 \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} \)와 \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} \)를 계산하세요.
예제 3의 풀이 과정
1. 일차 편미분
a. \(x\)에 대해:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2e^y) \\\\= 3x^2y^2 + 2xe^y \]
b. \(y\)에 대해:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2e^y) \\\\= 2x^3y + x^2e^y \]
2. 이차 편미분
a. \(x\)에 대해 두 번:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\= 6xy^2 + 2e^y \]
b. \(y\)에 대해 두 번:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 2x^3 + x^2e^y \]
c. \(x\)에 대해 미분한 후 \(y\)에 대해 미분:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\ = 6x^2y + 2xe^y \]
d. \(y\)에 대해 미분한 후 \(x\)에 대해 미분:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 6x^2y + 2xe^y \]
이 예제에서도 \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)라는 동일성을 확인할 수 있으며, 이는 특정 연속성 조건하에서 혼합 편미분의 동일성에 대한 클레로 정리를 설명합니다.
3. 삼차 편미분
a. \(x\)에 대해 두 번, \(y\)에 대해 한 번:
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(6xy^2 + 2e^y) = 12 x y + 2 e^y \]
b. \(x\)에 대해 한 번, \(y\)에 대해 한 번, 다시 \(x\)에 대해 한 번:
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(6x^2y + 2xe^y) = 12xy + 2e^y \]
클레로 정리
클레로 정리, 또는 혼합 편미분의 동일성 정리는 함수 \( f(x, y) \)가 연속적인 이차 편미분을 가지고 있을 때, 혼합 편미분의 미분 순서가 결과에 영향을 미치지 않는다는 것을 설명합니다. 즉,
\[
\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}}
\]
다음은 클레로 정리를 설명하는 간단한 예제입니다:
함수 \( f(x, y) = x^2y + y^3 \)를 고려해 봅시다.
먼저 혼합 편미분을 구해보겠습니다:
1. \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2xy \]
2. \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} = x^2 + 3y^2 \]
이제 혼합 편미분을 구해보겠습니다:
1. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} \):
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2 + 3y^2) = 2x \]
2. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \):
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} (2xy) = 2x \]
클레로 정리에 따르면, 두 혼합 편미분이 연속적이고 동일하기 때문에 \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \)가 성립합니다.
더 많은 링크와 참고자료
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