다변수 함수의 편미분
목차
편미분의 계산에 대한 예제와 연습 문제가 제공됩니다.
일반 미분이 단일 변수 함수에 대해 다루는 반면, 편미분은 다변수 함수의 개념을 일반화하는 일종의 미분입니다.
정식으로, 함수 \( f(x_1, x_2, ..., x_n) \)의 편미분은 그 변수 중 하나인 \( x_i \)에 대해 \( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \)로 표시됩니다. 이는 나머지 변수를 고정한 상태에서 변수 \( x_i \)에 대한 함수 \( f \)의 변화율을 나타냅니다.
수학적으로, \( x_i \)에 대한 함수 \( f \)의 편미분은 다음과 같이 정의됩니다:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_1, x_2, ..., x_i + h, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{h} \]
이 정의는 \( x_i \) 변수가 작게 변하는 동안 다른 변수는 고정된 상태에서 차이 몫의 극한이 \( h \)가 0에 접근할 때의 값이라고 말합니다.
편미분은 다른 변수를 고정한 상태에서 특정 변수에 따라 함수가 어떻게 변하는지를 분석할 수 있게 해줍니다.
예를 들어, \( f(x, y) \) 함수의 \( x \)에 대한 편미분을 계산할 때 \( y \)는 상수로 취급합니다. 이를 \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \)로 표시합니다.
마찬가지로, \( f \)의 \( y \)에 대한 편미분을 계산할 때, 이를 \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \)로 표시하며, \( x \)는 상수로 취급합니다. 즉, \( y \)의 변화를 고려하여 \( f \)가 어떻게 변하는지를 분석합니다.
이것이 편미분의 기본 개념으로, 다른 변수를 고정한 상태에서 특정 변수에 따라 함수가 어떻게 변하는지를 분석할 수 있습니다.
편미분은 미적분학, 미분방정식, 최적화, 그리고 물리학, 경제학, 공학을 포함한 다양한 과학 및 공학 분야에서 광범위하게 사용됩니다. 다변수 미적분학 연구 및 다중 독립 변수 시스템 분석에 중요한 역할을 합니다. 계산을 확인할 수 있는 편미분 계산기도 포함되어 있습니다.
예제와 해답
예제 1
\( f(x, y) = 3x^2 + 4xy - y^2 \)의 \( x \)에 대한 편미분인 \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \)와 \( y \)에 대한 편미분인 \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \)를 계산하세요.
예제 1의 해답
1. \( x \)에 대한 \( 3x^2 + 4xy - y^2 \)의 편미분:
먼저, \( x \)에 대한 \( f \)의 편미분을 계산합니다. 이를 \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \)로 표시합니다.
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
합의 규칙을 사용하여 다음과 같이 씁니다.
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) \]
참고: \( f(x, y) \) 함수의 \( x \)에 대한 편미분을 계산할 때, \( y \)는 상수로 취급합니다.
미분의 거듭제곱 법칙을 사용하면:
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) = 6x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) = 4y\]
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) = 0\]
따라서
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y - 0\]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y \].
2. \( y \)에 대한 \( 3x^2 + 4xy - y^2 \)의 편미분:
이번에는 \( y \)에 대한 \( f \)의 편미분을 계산합니다. 이를 \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \)로 표시합니다.
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
합의 규칙을 사용하여 다음과 같이 씁니다.
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) \]
참고: \( f(x, y) \) 함수의 \( y \)에 대한 편미분을 계산할 때, \( x \)는 상수로 취급합니다. 여러 미분 법칙을 사용하면:
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) = 0 \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy)= 4x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y \]
따라서
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 + 4x - 2y \]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 4x - 2y\].
예제 2
\( g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \) 함수의 \( x \), \( y \), \( z \)에 대한 편미분을 계산하세요.
예제 2의 해답
\( g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \)의 \( x \), \( y \), \( z \)에 대한 편미분을 계산하기 위해 각 변수를 독립적으로 취급하고 나머지 변수를 고정한 상태에서 각 변수에 대한 미분을 계산합니다. 단계별로 각 편미분을 계산해 보겠습니다:
1. \( x \)에 대한 편미분:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
곱의 미분법칙을 사용하여:
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right)
\]
이제 각 항을 개별적으로 계산합니다:
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = y e^{xy}
\]
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
따라서, 모든 것을 종합하면:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
2. \( y \)에 대한 편미분:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
곱의 미분법칙을 사용하여:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right)
\]
이제 각 항을 개별적으로 계산합니다:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy}
\]
\( \cos(z) \)는 \( y \)에 의존하지 않으므로, \( y \)에 대한 미분은 0입니다:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
따라서, 모든 것을 종합하면:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
3. \( z \)에 대한 편미분:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
곱의 미분법칙을 사용하여:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right)
\]
이제 각 항을 개별적으로 계산합니다:
a. \( z \)에 대한 \( e^{xy} \)의 미분:
\( e^{xy} \)는 \( z \)에 의존하지 않으므로, \( z \)에 대한 미분은 0입니다:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) = 0
\]
b. \( z \)에 대한 \( \cos(z) \)의 미분:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) = -\sin(z)
\]
따라서, 모든 것을 종합하면:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
따라서, \( g \)의 \( x \), \( y \), \( z \)에 대한 편미분은 다음과 같습니다:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
연습 문제와 해답
다음 함수의 편미분을 구하세요.
- \( g(u,v) = u^2 \; v^2 + e^{u^2+v^2} \)
- \( f(x,y,z) = \sin (xy )\;\ln (xyz ) \)
- \( h(x,y,z) = \dfrac{z}{x \;y \;z +1} \)
위 연습 문제의 해답
-
\( \dfrac{\partial g}{\partial u} = 2 \;u \;v^2 + 2u \; e^{u^2+v^2}\)
\( \dfrac{\partial g}{\partial v} = 2 \;v \;u^2 + 2v \; e^{u^2+v^2}\)
-
\( \dfrac{\partial f}{\partial x} = y \;\cos(xy)\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{x} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial y} = x\;\cos (xy )\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{y} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\sin (xy)}{z} \)
-
\( \dfrac{\partial h}{\partial x} = -\dfrac{y z^2 }{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial y} = -\dfrac{x z^2}{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial z} = \dfrac{1}{\left(zxy+1\right)^2} \)
추가 링크 및 참조
다변수 함수
고차 편미분