미분 방정식 소개
목차
미분 방정식은 미지 함수와 그 함수의 도함수를 포함하는 방정식입니다 [1] , [2] , [3] .
미분 방정식은 과학, 공학 및 수학의 다양한 분야에서 시스템과 다른 행동을 모델링하는 데 사용됩니다.
미분 방정식의 차수
미분 방정식에 포함된 가장 높은 도함수가 방정식의 차수를 결정합니다.
예시
다음 미분 방정식
\[ \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
은 \( y \)의 첫 번째 도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)가 포함된 가장 높은 도함수이므로 1차 방정식입니다.
다음 미분 방정식
\[ \dfrac{d^3y}{dx^3} - 5\dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} = 0 \]
은 \( y \)의 세 번째 도함수 \( \dfrac{d^3y}{dx^3} \)가 포함된 가장 높은 도함수이므로 3차 방정식입니다.
다음 미분 방정식
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
은 \( y \)의 두 번째 도함수 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \)가 포함된 가장 높은 도함수이므로 2차 방정식입니다.
미분 방정식의 선형성
미분 방정식은 선형성에 따라 분류될 수 있습니다.
선형 미분 방정식
미지 함수와 그 도함수의 최고 차수가 1이며 함수와 그 도함수가 서로 곱해지지 않으면 미분 방정식은 선형이라고 합니다. 선형 미분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
\[ a_n(x)\dfrac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1(x)\dfrac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x) \]
여기서 \( a_i(x) \)는 \( x \)의 함수이고, \( y \)는 미지 함수이며, \( g(x) \)는 \( x \)의 알려진 함수입니다.
예시
다음 미분 방정식
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2y = 0 \]
은 미지 함수 \( y \)와 그 두 번째 도함수 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \)가 1보다 큰 차수로 제곱되거나 곱해지지 않으므로 선형입니다.
다음 미분 방정식
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2 y = 0 \]
은 미지 함수 \( y \), 그 두 번째 도함수 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) 및 첫 번째 도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)가 1보다 큰 차수로 제곱되거나 곱해지지 않으므로 선형입니다.
비선형 미분 방정식
미지 함수 또는 그 도함수 중 하나라도 1보다 큰 차수로 제곱되거나 곱해지면 미분 방정식은 비선형이라고 합니다. 미지 함수 또는 그 도함수의 제곱근, 로그, 지수, 삼각함수 또는 기타 비선형 함수와 관련된 미분 방정식도 비선형입니다.
비선형 미분 방정식은 복잡한 행동을 나타낼 수 있으며 해결하기 어려울 수 있습니다.
예시
다음 미분 방정식
\[ \dfrac{dy}{dx} = y^2 + 3 \]
은 \( y \)가 2차로 제곱되어 나타나므로 비선형입니다.
다음 미분 방정식
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = e^{y} \]
은 \( y \)가 비선형 항 \( e^{y} \)에 나타나므로 비선형입니다.
다음 미분 방정식
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \sin(y) \]
은 \( y \)가 비선형 함수인 \( \sin(y) \)에 나타나므로 비선형입니다.
더 많은 참조 및 링크
1 - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
2 - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
3 - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
2차 미분 방정식 계산기