두 변수의 방정식 시스템의 해를 근사하기 위해 뉴턴의 방법 [1]을 사용하는 인터랙티브 계산기가 제공됩니다. 이 계산기는 해를 근사하고 교육적 목적으로 모든 반복 값의 표를 제공합니다.
방정식 시스템을 위한 뉴턴 방법
뉴턴 방법은 근사 초기 해에서 시작하여 반복적으로 방정식의 해를 찾는 수치적 방법입니다. 방정식 시스템의 경우, 이 방법은 야코비 행렬과 그 행렬식의 계산을 통해 자연스럽게 확장됩니다.
한 변수 뉴턴 방법
다음 방정식을 풀어야 한다고 가정합니다:
\[ f(x) = 0 \]
\( f(x+\Delta x) \)의 테일러 전개는 다음과 같이 주어집니다:
\[ f(x+\Delta x) \approx f(x) + \Delta x f'(x) \]
이제 \( f(x+\Delta x) = 0 \)을 풀면
\[ f(x) + \Delta x f'(x) = 0 \]
이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
\[ \Delta x \approx - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
방정식의 근의 근사값 \( x_n \)을 알고 있다고 가정하면, 근사 근 \( x_{n+1} \)는 다음과 같이 정의됩니다:
\[ \Delta x = x_{n+1} - x_n \]
이는 다음과 같이 주어집니다:
\[ x_{n+1} \approx x_{n} - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
방정식 시스템과 야코비 행렬
두 변수 \( x \)와 \( y \)의 방정식 시스템을 고려합니다:
\[
\begin{align*}
f(x, y) &= 0 \\
g(x, y) &= 0
\end{align*}
\]
시스템의 야코비 행렬 \( J \)는 다음과 같이 주어집니다:
\[
J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{bmatrix}
\]
뉴턴 방법 갱신
방정식 시스템을 위한 뉴턴 방법의 갱신 공식은 다음과 같습니다:
\[
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
\Delta y &= \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
따라서
\[
\begin{aligned}
x_{n+1} &\approx x_n + \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
y_{n+1} &\approx y_n + \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
여기서 \( f \)와 \( g \)는 현재 \( (x_n, y_n) \) 값에서 평가된 함수입니다.
\( f_x, f_y, g_x, g_y \)는 각각 \( x \)와 \( y \)에 대한 \( f \)와 \( g \)의 편미분입니다.
\(\text{D} = f_x \cdot g_y - f_y \cdot g_x\)는 야코비 행렬의 행렬식입니다.
반복 과정
뉴턴 방법은 위의 공식을 사용하여 \( x \)와 \( y \) 변수를 반복적으로 갱신합니다. 일반적인 중지 기준에는 다음이 포함됩니다:
수렴 허용 오차: 연속 반복 사이의 차이가 일정 임계값 이하일 때 중지합니다.
최대 반복 횟수: 최대 반복 횟수에 도달하면 중지합니다.
1. 초기화: \( x \)와 \( y \)의 초기 추정값으로 시작합니다:
시스템의 해에 가까운 초기 추정값을 얻는 한 가지 방법은 \( f(x,y) \)와 \( g(x,y) \)를 그래프로 그려 교차점을 추정하여 초기 추정값으로 사용하는 것입니다.
2. 함수와 미분의 평가: 현재 \( (x, y) \) 값에서 \( f(x, y) \), \( g(x, y) \) 및 해당 편미분을 계산합니다.
3. 행렬식 계산: 야코비 행렬의 행렬식을 계산합니다.
4. 변수 갱신: 뉴턴 방법 갱신 공식을 사용하여 \( \Delta x \)와 \( \Delta y \)를 계산합니다.
5. 반복: \( \Delta x \)와 \( \Delta y \)를 사용하여 \( x \)와 \( y \)를 갱신하고 수렴하거나 최대 반복 횟수에 도달할 때까지 반복합니다.
6. 허용 오차 \( \epsilon \)은 다음과 같이 \( f(x,y) \)와 \( g(x,y) \)의 절대값을 테스트하는 데 사용됩니다:
\( |f(x,y)| \lt \epsilon \) 및 \( |g(x,y)| \lt \epsilon \)일 때 반복 과정이 중지됩니다.
7. 이 계산기는 한 번에 하나의 해를 근사합니다.
뉴턴 방법은 초기 추정값이 실제 해에 충분히 가깝고 함수가 해의 근처에서 미분 가능하다는 가정 하에 두 변수의 방정식 시스템의 해를 근사하는 데 강력하고 효율적인 방법을 제공합니다.
계산기
결과
\( x, y, f(x,y) \) 및 \( g(x,y) \)의 반복 값이 포함된 표입니다.
반복
\( x \)
\( y \)
\( f(x, y) \)
\( g(x, y) \)
더 많은 참조 및 링크
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
