오일러 공식

오일러 공식의 도출

오일러 공식의 도출은 미적분학, 멱급수, 복소수 개념을 포함합니다. 다음은 지수 함수 \( e^x \), 코사인 함수 \( \cos(x) \), 사인 함수 \( \sin(x) \)의 멱급수 전개식입니다. 이 함수들의 멱급수 전개식은 다음과 같습니다: \[ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots \] \[ \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \] \[ \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots \] 이제 \( ix \)를 \( e^x \)의 멱급수 전개식에 대입해 봅시다: \[ e^{ix} = 1 + ix + \dfrac{(ix)^2}{2!} + \dfrac{(ix)^3}{3!} + \dfrac{(ix)^4}{4!} + \dfrac{(ix)^5}{5!} + \cdots \] \[ = 1 + ix - \dfrac{x^2}{2!} - i\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + i\dfrac{x^5}{5!} - \cdots \] \( e^{ix} \)를 표준 형태의 복소수 \( Re + i Im \)로 작성해 봅시다: \[ e^{ix} = \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) + i \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \] 짝수 차수 \( \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) \) 항들은 \( \cos(x) \)의 전개식을 형성하고, 홀수 차수 \( \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \) 항들은 \( \sin(x) \)의 전개식을 형성합니다. 따라서, 이를 결합하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다: \[ \Large \color{red} {e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)} \]

오일러 공식 관련 항등식 및 공식

오일러의 항등식

\( x = \pi \)일 때, 오일러 공식은 다음과 같습니다: \[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \] 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다: \[ \Large \color{red} { e^{i\pi} + 1 = 0} \] 위의 방정식은 수학에서 가장 중요한 다섯 개의 상수인 \( e \), \( \pi \), \( i \), \( 1 \), \( 0 \)을 결합합니다.

드무아브르의 공식

오일러 공식을 정수 거듭제곱 \( n \)에 대해 확장하면: \[ (e^{i x})^n = (\cos(x) + i\sin(x))^n \] 지수 법칙을 사용하면 \[ (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos (n x) + i \sin (n x) \] 따라서 드무아브르의 공식 \[ \Large \color{red} {(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos (n x) + i \sin (n x)} \] 이 공식은 복소수의 거듭제곱을 계산하는 데 매우 유용합니다.

\( \sin \)과 \( \cos \)를 위한 오일러 공식

다음과 같은 전개식에서 시작합니다: \[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \] 그리고 \[ e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x) \] 좌변과 우변을 더하고 빼면 \[ e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \] 그리고 \[ e^{ix} - e^{-ix} = 2 i\sin(x) \] \( \cos(x) \)와 \( \sin(x) \)를 구하면 \[ \Large \color{red} { \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} } \] \[ \Large \color{red} { \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} } \] 이 항등식들은 삼각 함수 \( \sin(x) \)와 \( \cos(x) \)를 지수 함수 \( e^{ix} \)와 관련시킵니다. 이 항등식들은 수학, 물리학, 공학의 다양한 분야에서 응용됩니다. 지수 성장, 주기적 운동, 복소수 사이의 깊은 연결을 제공해 줍니다.

삼각 항등식과 오일러 공식

여기서는 오일러 공식을 사용하여 삼각 항등식을 증명하는 예를 제시합니다.

예제

삼각 항등식 \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)를 증명하시오.

해답

항등식 \( \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \)를 사용하여 작성합니다. \[ \sin(A+B) = \dfrac{e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)}}{2i} \quad (I)\] 지수 성질 \( e^{x+y} = e^x e^y \)를 사용하여 \( e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} \)를 다음과 같이 다시 씁니다: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = e^{iA} e^{iB} - e^{-iA} e^{-iB} \] 이제 오일러 공식을 사용하여 오른쪽 항을 전개합니다. \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos (-A) + i \sin(- A))(\cos(- B) + i \sin (-B) )\] 항등식 \( \cos (-A) = \cos A \)와 \( \sin(-A) = - \sin A \)를 사용하여 위 식을 다음과 같이 다시 씁니다: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos A - i \sin A)(\cos B - i \sin B) \] 오른쪽 항을 전개하고 정리합니다. \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = 2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B \] 이를 위의 (I)에 대입하면 다음과 같습니다: \[ \sin(A+B) = \dfrac{2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B}{2i} \] 이를 정리하면 잘 알려진 삼각 항등식이 나옵니다: \[ \Large \color{red} { \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B } \]