목차

일반적인 영역 위의 이중 적분

일반적인 영역 위의 이중 적분 계산

예제 1
문제: 삼각형 \( xy \)-평면에 대한 \(x\)-축, \(y\)-축 및 선 \( y = - x + 2 \)으로 경계 지어진 삼각형 영역 \( R \)에서 이중 적분을 계산하십시오.
예제 1의 해결
일반적인 적분 영역에 대한 이중 적분 계산을 위한 네 가지 주요 단계입니다.
STEP 1 일반적인 영역을 나타내는 그래프 및/또는 다이어그램을 만듭니다.
먼저 적분 영역 \( R \)의 그래프 또는/및 다이어그램을 그립니다. 이 예에서는 삼각형으로, \(x\)와 \(y\)-축에 있는 변 및 세 번째 변은 선 \( y = - x + 2 \)의 방정식으로 설명됩니다. 이 삼각형은 세 개의 꼭짓점으로 정의할 수도 있습니다. 원점과 선 \( y = - x + 2 \)의 교차점인 \( (2,0) \) 및 \( (0,2) \)로 각각 표시됩니다. 아래 그래프에서 확인할 수 있습니다.



주어진 영역 위의 적분을 계산하는 두 가지 방법이 있습니다.
STEP 2 스트립으로 일반적인 영역을 설명하는 방법을 결정합니다.
1) 그래프에서 보여진대로 영역 \( R \)을 수직 스트립으로 설명합니다.
영역 \( R \)을 무한한 수의 수직 스트립 집합으로 간주합니다. 아래 다이어그램에서 볼 수 있듯이 영역 R은 설명될 수 있습니다. 임의의 주어진 수직 스트립은 주어진 \( x \)에서 시작하여 \( y = 0 \)에서 끝납니다. 영역 \( R \)을 설명하는 모든 스트립을 포함해야 하므로 \( x \)는 \( x = 0 \)에서 \( x = 2 \)까지의 값을 가져야 합니다. 따라서 적분 영역 \( R \)은 다음과 같이 정의될 수 있습니다.
STEP 3 부등식을 사용하여 적분의 일반적인 영역을 설명합니다.
\( R \) : \( 0 \le x \le \ 2 \) , \( 0 \le y \le - x + 2 \)


STEP 4 적분을 계산합니다.
이 적분은 다음과 같이 작성될 수 있습니다.
\( \displaystyle V = \int_0^2 \int_0^{-x+2} (x^2+y) \;dy \;dx \)
\( = \displaystyle \int_0^2 ( -x^3 +\dfrac{5}{2} x^2 - 2x + 2) \;dx = 8/3\)


이제 수평 스트립을 사용하여 동일한 질문에 답합니다. STEP 1은 위와 동일합니다
STEP 2 스트립으로 일반적인 영역을 설명하는 방법을 결정합니다.
2) 그래프에서 보여진대로 영역 \( R \)을 수평 스트립으로 설명합니다.
영역 \( R \)을 무한한 수의 수평 스트립 집합으로 간주합니다. 아래 다이어그램에서 볼 수 있듯이 영역 R은 설명될 수 있습니다. 임의의 주어진 수직 스트립은 주어진 \( y \)에서 시작하여 \( x = 0 \)에서 끝납니다. 영역 \( R \)을 설명하는 모든 스트립을 포함해야 하므로 \( y \)는 \( y = 0 \)에서 \( y = 2 \)까지의 값을 가져야 합니다. 따라서 적분 영역 \( R \)은 다음과 같이 정의될 수 있습니다.
STEP 3 부등식을 사용하여 적분의 일반적인 영역을 설명합니다.
\( R \) : \( 0 \le x \le - y + 2 \) , \( 0 \le y \le 2 \)



STEP 4 적분을 계산합니다
따라서 적분은 다음과 같이 작성될 수 있습니다.
\( \displaystyle V = \int_0^2 \int_0^{-y+2} (x^2+y) \;dx \;dy \)
\( = \displaystyle \int_0^2 (-\dfrac{1}{3} y^3 + y^2 - 2 y + \dfrac{8}{3} ) \;dy = 8/3 \)
참고 양쪽 케이스에서 변수를 포함하는 한계의 적분이 내부 적분입니다.

예제 2
문제: \( xy \)-평면 상의 영역 \( R \)이 \(y\)-축, \( y = x^3 \) 및 \( y = - x^2 + 2 \)의 방정식으로 경계 지어진 경우, 이중 적분을 계산하십시오.

예제 2의 해결
다음 그래프에서 보여지듯이 영역 \( R \)을 분석을 시작합니다. 두 곡선은 \( x \) 좌표의 해답으로 주어진 점에서 만납니다.
\( y = x^3 \)
\(y = - x^2 + 2 \)
위의 시스템의 해답으로 \( x \)를 제거하고 \( y \)를 제거하여 방정식을 단순화하면 방정식을 얻을 수 있습니다.
\( 0 = x^3 + x^2 - 2 \)
그래프의 도움으로 쉽게 확인할 수 있습니다. \( x = 1 \)이 위의 방정식의 해답임을 분석적으로 확인할 수 있습니다.
두 곡선의 교차점의 \(y\)-좌표는 이미 찾은 해답 \(1\)을 한 방정식의 곡선에 \( x \)를 대입하여 찾을 수 있습니다. \( y = (1)^3 = 1 \)입니다.
따라서 교차점은 \( (1,1) \)로 주어집니다.

1) 수직 스트립 사용하기
주어진 수직 스트립은 곡선 \( y = x^3 \)에서 시작하여 곡선 \( x = - x^2 + 2 \)에서 끝납니다. 전체 영역에 대해 \( x \)는 \( x = 0 \)부터 \( x = 1 \)까지의 모든 값을 가져야 합니다. 따라서 적분 영역 \( R \)은 다음과 같이 주어집니다. \( R \) : \( 0 \le x \le 1 \) , \( x^3 \le y \le - x^2 + 2 \) 따라서 적분은 다음과 같이 계산될 수 있습니다.
\( \displaystyle V = \int_0^1 \int_{x^3}^{-x^2+2} (x+y) \;dy \;dx = \dfrac{803}{420}\)


2) 수평 스트립 사용하기
주어진 수평 스트립은 \(y\)-축인 \( x = 0 \)에서 시작하고 곡선 \( x = \sqrt[3]y \) 또는 곡선 \( x = \sqrt{- y+ 2} \)에서 끝납니다. 두 가지 다른 곡선 때문에 영역 \( R \)은 두 영역 \( R_1 \)과 \( R_2 \)로 나눌 수 있습니다.
영역 \( R_1 \)에 대해 \( y \)는 \( y = 0 \)부터 \( y = 1 \)까지의 모든 값을 가져야 하며, 영역 \( R_2 \)에 대해 \( y \)는 \( y = 1 \)부터 \( y = 2 \)까지의 모든 값을 가져야 합니다.
따라서 적분 영역 \( R \)은 두 부분으로 나눠집니다:
\( R_1 \) : \( 0 \le x \le \sqrt[3]y \) , \( 0 \le y \le 1 \)
그리고
\( R_2 \) : \( 0 \le x \le \sqrt{- y+ 2} \) , \( 0 \le y \le 1 \)
따라서 적분은 다음과 같이 계산될 수 있습니다
\( \displaystyle V = \iint_{R_1} (x+y) \;dx \;dy + \iint_{R_2} (x+y) \;dx \;dy \)

\( \displaystyle = \int_0^1 \int_{0}^{\sqrt[3]y} (x+y) \;dx \;dy + \int_1^2 \int_{0}^{\sqrt{-y+2}} (x+y) \;dx \;dy = \dfrac{803}{420}\)

문제에 따라 적분 순서를 선택해야 할 수 있는 예제들

예제 3
문제: 가능한 경우 이중 적분을 평가하십시오. 주어진 적분을 평가하는 데 적합한 경우 적분 순서를 반대로 하십시오.
예제 3의 해결
먼저 내부 적분부터 시작하겠습니다.
\( \displaystyle I = \int _y^1 (y+e^{-x^2}) dx \)
위의 \( I \)를 평가하려고 할 때, 적분 \( \displaystyle I = \int _y^1 (e^{-x^2}) dx \)는 해석적으로 수행할 수 없습니다.
주어진 적분의 적분 영역에 따르면 적분의 적분 영역 \( R \)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( R \) : \( y \le x \le 1 \) , \( 0 \le y \le 1 \)
그래프는 수평 스트립의 집합으로 표시됩니다.


이제 다음 그래프에서 영역 \( R \)을 설명하기 위해 수직 스트립을 사용하십시오.

\ 적분 순서를 변경하여 더 진행할 수 있는지 확인하기 위해 적분 영역 \( R \)을 그래프로 그려보십시오.
\( R \) : \( 0 \le x \le 1 \) , \( 0 \le y \le x \)
적분 \( V \)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \displaystyle V = \int _0^1 \int _0^x (y + e^{-x^2}) dy dx \)
내부 적분 \( I \)를 사용하여 평가하십시오. \( \displaystyle I = \int _0^x (y + e^{-x^2}) dy \)
\( = \left[ \dfrac{y^2}{2} + y e^{-x^2} \right]_0^x \)
\( = \dfrac{x^2}{2} + x e^{-x^2} \)
이제 \( I \)를 \( V \)에 대입하여 주어진 적분을 계산하십시오.
\( \displaystyle V = \int _0^1 (\dfrac{x^2}{2} + x e^{-x^2} ) dx \)
\( = \left[ \frac{x^3}{6}-\frac{1}{2}e^{-x^2} \right]_0^1 \)
\( = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2}e^{-1} \)

예제 4
다음 영역 \( R \)에 대한 이중 적분을 평가하십시오. \( R \)은 다음 그림에서 빨간색으로 칠해져 있습니다.

예제 4의 해결
내부 적분을 \( \displaystyle I = \int \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right) \; dy \)로 정의합니다.
이 적분이 해석적으로 쉽지 않음을 쉽게 알 수 있습니다.
적분 순서를 바꿔 봅시다.
\( V = \displaystyle \iint_R \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right)\:dx \:dy \)
영역 \( R \)은 다음과 같이 설명됩니다:
\( R\) : \( 0 \le x \le y^2 \) , \( 0 \le y \le \sqrt 2 \)


\( \displaystyle V = \int _0^{\sqrt 2} \int _0^{y^2} \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right) dx dy \)
내부 적분 \( I \)를 평가합니다.
\( I = \displaystyle \int _0^{y^2} \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right) dx \)
\( = \left [ x \sqrt{1+y^3} + \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{y^2} \)
평가하고 단순화합니다.
\( = y^2\sqrt{y^3+1}+\frac{y^4}{2} \)
\( I \)를 \( V \)에 대입하고 외부 적분을 계산합니다.
\( \displaystyle V = \int _{0\:}^{\sqrt 2} \left(y^2\sqrt{y^3+1}+\frac{y^4}{2} \right) \; dy \)
위의 적분을 계산합니다.
\( \displaystyle V = \left [ \frac{2}{9}\left(y^3+1\right)^{\frac{3}{2}}+\frac{y^5}{10} \right]_0^{\sqrt 2} \)
단순화합니다.
\( V = \frac{2}{9}\left(\left(\sqrt{2}\right)^3+1\right)^{\frac{3}{2}}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^5}{10}-\dfrac{2}{9} \approx 2.00 \)

예제 5
\( \displaystyle V = \iint_R (x+y)\:dydx \) 를 평가하십시오. 여기서 영역 \( R \)은 다음과 같이 주어진 방정식들에 의해 경계 지어집니다. \( x = (y-2)^2-2 \) 그리고 \( y = - x + 6 \)
예제 5의 해결
만약 수직 스트립을 사용한다면, 적분의 계산은 매우 어려워지므로 \( y \)의 한계가 다음 구간에서 다르기 때문에 적분의 영역이 두 부분으로 나누어질 것입니다. \( -2 \le x \le 2 \) 및 \( 2 \le x \le 7 \) 그래서 우리는 수평 스트립을 사용합니다.


영역 \( R \)은 다음과 같이 설명될 수 있습니다:
\( R\) : \( (y-2)^2 - 2 \le x \le -y+6 \) , \( -1 \le y \le 4 \)
\( \displaystyle V = \int _{-1}^{4} \int _{(y-2)^2 - 2}^{-y+6} (x+y)\:dx \: dy \)
내부 적분을 \( \displaystyle I = \int _{(y-2)^2 - 2}^{-y+6} (x+y)\:dx \) 로 놓습니다.
위의 적분을 계산하십시오
\( I = \dfrac{-y^4+6y^3-13y^2+12y+32}{2} \)
\( I \)를 \( V \)에 대입하고 외부 적분을 계산하십시오.
\( \displaystyle V = \int _{-1}^4 \left( \dfrac{-y^4+6y^3-13y^2+12y+32}{2} \right) \; dy \)
위의 적분을 계산하십시오
\( \displaystyle V = \dfrac{1}{2} \left[-\dfrac{y^5}{5}+\dfrac{3y^4}{2}-\dfrac{13y^3}{3}+6y^2+32y\right]_{-1}^4 \)
평가
\( V = \dfrac{875}{12} \)
노트
수직 스트립을 사용하여 이중 적분이 다음과 같이 주어짐을 연습으로 보여주십시오.
\( \displaystyle \int _{-2}^2\:\int _{2-\sqrt{x+2}}^{2+\sqrt{x+2}}\:\left(x+y\right)dydx+\int _2^7\:\int _{2-\sqrt{x+2}}^{-x+6}\:\left(x+y\right)dydx \)

추가 답변

1. 적분 영역
   
   
   수직 스트립
   \( 0 \le x \le 1 \) , \( 0 \le y \le \sqrt{1-x^2} \)
   \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^{\sqrt{1-x^2}}\:xy\:dy\:dx = 1/8 \)
   수평 스트립
   \( 0 \le x \le \sqrt{1-y^2} \) , \( 0 \le y \le 1 \)
   \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^{\sqrt{1-y^2}}\:xy\:dx\:dy = 1/8\)
   
   
2. 
   적분 영역
   
   
   수직 스트립
   \( 0 \le x \le 3\) , \( 0 \le y \le x \)
   \( \displaystyle \int _0^3\:\int _0^x \:\sin(x^2)\:dy\:dx = \dfrac{1}{2}\left(-\cos \left(9\right)+1\right) \)
   수평 스트립
   \( y \le x \le 3 \) , \( 0 \le y \le 3 \)
   \( \displaystyle \int _y^3\:\int _0^3\:\sin(x^2)\:dx\:dy \) 해석적으로 풀기 매우 어렵습니다.

더 많은 참조 및 링크

1. 이중 적분 계산
   
2. Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis ; Calculus: Early Transcendentals; Willey, 2012.
   
3. Gilbert Strang; MIT, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, 1991
   
4. Joel Hass, University of California, Davis; Maurice D. Weir Naval Postgraduate School; George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology ; University Calculus , Early Transcendentals, Third Edition , Boston Columbus , 2016, Pearson.