예제 2
위의 두 방법을 사용하여 이중 적분을 계산하십시오. \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \;dx \;dy \)
예제 2의 해결책
1) 먼저 \( x \)에 대한 적분을 계산한 다음 \( y \)에 대한 적분을 계산합니다.
\( \displaystyle V = \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_1^3 \left(\int_0^4 (x^2-y+2) \;dx\right) \;dy \)
먼저 내부 적분 \( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx \)를 계산합니다. \( y \)가 상수로 간주될 때와 마찬가지로 부분 미분을 계산할 때와 비슷한 방식으로 진행합니다.
\( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - y x + 2 x \right]_{x = 0}^{x=4} \)
위를 평가합니다.
\( I = \displaystyle (\dfrac{1}{3} 4^3 - 4y + 2\cdot4) - (\dfrac{1}{3} 0^3 - y (0) + 2 (0)) \)
간단히 하십시오
\( I = \left[ -4y+\dfrac{88}{3} \right] \)
\( I \)를 \( V \)에 대입하고 외부 적분을 계산합니다.
\( \displaystyle V = \int_1^3 \left( -4y +\dfrac{88}{3} \right) \;dy \)
위의 적분을 계산합니다.
\( \displaystyle V = \left[ -2 y^2 + \dfrac{88}{
3} y \right]_{y= 1}^{y=3} \)
\( \displaystyle V = (-2 (3)^2 + \dfrac{88}{3} (3)) - (-2 (1)^2 + \dfrac{88}{3} (1)) \)
\( \displaystyle V = \dfrac{128}{3} \)
2) 먼저 \( y \)에 대한 적분을 계산한 다음 \( x \)에 대한 적분을 계산합니다.
\( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_0^4 \left(\int_1^3 (x^2-y+2) dy\right) \; dx \)
내부 적분 \( I = \displaystyle \int_1^3 (x^2-y+2) dy \)를 계산합니다. \( x \)가 상수로 간주될 때 진행합니다.
\( I = \left[ x^2 y - \dfrac{1}{2} y^2 x + 2 x y \right]_{y = 1}^{y=3} \)
\( = \displaystyle \left( ( x^2 (3) - \dfrac{1}{2} (3)^2 x + 2 x (3) ) - (x^2 (1) - \dfrac{1}{2} (1)^2 x + 2 x (1)) \right) \)
간단히 하십시오
\( I = 2x^2 \)
\( I \)를 \( V \)에 대입합니다.
\( \displaystyle V = \int_0^4 2x^2 dx \)
위의 적분을 계산합니다.
\(V = \displaystyle \left[ \dfrac{2}{3} x^3 \right]_{x=0}^{x=4} \)
\( V = \dfrac{128}{3} \)
참고
1) 적분을 분할하는 두 가지 방법은 동일한 답변을 제공합니다.
2) 우리가 이중 적분을 계산하고 있었지만 사실상 단일 적분을 다루고 있었으며 물론 모든 적분의 공식과 속성을 사용할 수 있습니다.
예제 3
다음 이중 적분을 계산하십시오. \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \; dy \)
예제 3의 해결책
내부 적분부터 시작하십시오.
\( \displaystyle I = \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \)
\( I \)를 평가하십시오
\( \displaystyle I = \left[ \dfrac{2}{3} (2+x+y)^{3/2} \right]_0^4 \)
위를 계산하십시오
\( \displaystyle I = \left( \dfrac{2}{3} (2+4+y)^{3/2} - \dfrac{2}{3} (2+0+y)^{3/2} \right) \)
간단히 하십시오
\( \displaystyle I = \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \)
내부 적분 \( I \)를 \( V \)에 대입하고 외부 적분을 계산하십시오.
\( \displaystyle V = \int_1^3 \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \; dy \)
위의 적분을 계산하십시오
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+y)^{5/2} - (2+y)^{5/2} \right]_1^3 \)
적분 한계를 사용하여 계산하십시오
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+3)^{5/2} - (2+3)^{5/2} \right] - \dfrac{4}{15} \left[ (6+1)^{5/2} - (2+1)^{5/2} \right] \)
\( \displaystyle \approx 19.48 \)
예제 4 적분 한계에 변수가 있을 수 있습니다.
다음 이중 적분을 계산하십시오. \( \displaystyle V = \int _{1\:}^2\:\int _{y-1}^{y}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \; dy \)
예제 4의 해결책
내부 적분을 \( \displaystyle I = \int _y^{y+1}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \)라고 가정하겠습니다.
위의 적분을 계산하십시오.
\( I = \left[ \dfrac{x^2}{2}+ \dfrac {x}{y} \right]_{y-1}^{y} \)
적분의 한계를 사용하여 \( I \)를 계산하십시오.
\( I = \left( \dfrac{(y)^2}{2}+ \dfrac {y}{y} \right) - \left( \dfrac{(y-1)^2}{2}+ \dfrac {y-1}{y} \right) \)
간단히 하십시오.
\( I = y - 1/2 + \dfrac{1}{y} \)
\( I \)를 \( V \)에 대입하고 외부 적분을 계산하십시오.
\( \displaystyle V = \int _{1\:}^2 ( y - 1/2 + \dfrac{1}{y} ) \; dy \)
위의 적분을 계산하십시오.
\( \displaystyle V = \left [\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{y}{2} + \ln |y| \right]_1^2 \)
\( \displaystyle V = (\dfrac{(2)^2}{2} - \dfrac{(2)}{2} + \ln |(2)|) - (\dfrac{(1)^2}{2} - \dfrac{(1)}{2} + \ln |(1)|) \)
간단히 하십시오.
\( V = \ln 2 + 1 \)
예제 5
다음 이중 적분을 계산하십시오. \( \displaystyle V = \int _0^{\pi}\:\int _0^1\left(x \sin(x^2)+y\:\right)dy\:dx \)
예제 5의 해결책
내부 적분을 \( \displaystyle I = \int _0^1\left(x\sin\left(x^2\right)+y\:\right)dy \)라고 가정하겠습니다.
위의 적분을 계산하십시오.
\( I = \left[ x\sin(x^2) y + \dfrac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
적분의 한계를 사용하여 \( I \)를 계산하십시오.
\( I = x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} \)
\( I \)를 \( V \)에 대입하고 외부 적분을 계산하십시오.
\( \displaystyle V = \int _{0\:}^{\pi} ( x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} ) \; dx \)
위의 적분을 계산하십시오.
\( \displaystyle V = \left [ -\dfrac{1}{2} \cos (x^2) + \dfrac{1}{2} x\right]_0^{\pi} \)
간단히 하십시오.
\( \displaystyle V = \dfrac{-\cos(\pi^2)+\pi+1}{2} \)
예제 6
상수 \( k \)를 찾아 \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx = 5 \) 가 되도록 하십시오.
예제 6의 해결책
\( \displaystyle V = \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx \) 라고 가정하겠습니다.
내부 적분을 \( \displaystyle I = \int _0^3 k x^2 (y+1) dy \)라고 가정하겠습니다.
\( I \)를 계산하십시오.
\( I = \left [k x^2 (\dfrac{y^2}{2}+y) \right]_0^3 = k \dfrac{15}{2} x^2 \)
\( I \)를 \( V \)에 대입하십시오.
\( \displaystyle V = \int _0^1 k \dfrac{15}{2} x^2 dx \)
\( V = \left [ \dfrac{5 k}{2} x^3 \right]_0^1 = \dfrac{5 k}{2} \)
방정식을 푸는 것으로부터 \( k = 2 \)를 얻습니다.
예제 7
\( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx = 10 \)이 되도록 상수 \( b \)를 찾으십시오. \( b \gt 0\)
예제 7의 해결책
\( \displaystyle V = \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx \)라고 가정하겠습니다.
내부 적분을 \( I \)로 가정하겠습니다.
\( I = \displaystyle \int _0^b (2x+y )dy \)
\( I \)를 계산하십시오.
\( \displaystyle I = \left[\dfrac{y^2}{2}+2xy\right]_0^b = \dfrac{b^2}{2}+2bx \)
\( I \)를 \( V \)에 대입하고 \( V \)를 계산하십시오.
\( \displaystyle V = \int _1^2\ \left(\dfrac{b^2}{2}+2bx \right) dx \)
\( = \left[ \dfrac{b^2}{2}x+bx^2 \right]_1^2 \)
\( = \dfrac{b^2}{2}+3b \)
\( b \)를 찾기 위해 방정식을 풉니다.
\( \dfrac{b^2}{2}+3b = 10 \)
위의 방정식을 풀고 양수 해 \( b = -3+\sqrt{29} \)를 선택하십시오.