이중 적분의 응용 예제를 통해 체적과 면적을 계산하는 방법을 상세히 설명합니다.
\( \)\( \)\( \)
이중 적분을 사용하여 체적 계산
\( xy \) 평면에서 영역 \( R \) 위에 위치한 고체의 체적 \( V \), \( f(x,y) \ge 0 \)이고, 표면 \( z = f(x,y) \) 아래에 위치한 경우, 이중 적분에 의해 주어집니다. [6]
\[ \displaystyle V = \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \]
예제 1
평면 \( z = 0 \)과 산 모양 \( z = 4 - x^2 - y^2 \) 사이에 위치한 고체의 체적을 이중 적분을 사용하여 계산하십시오.
예제 1의 해결책
평면 \( z = 0 \)과 산 모양 사이의 고체는 아래와 같습니다.
Fig.1 - 평면 \( z = 0 \)과 산 모양 \( z = 4 - x^2 - y^2 \) 사이의 체적
적분의 영역 \( R \)은 산 모양과 평면 \( z =0 \)의 교차로 얻어집니다. 이는 산 모양의 방정식에 \( z = 0 \)을 설정하여 얻습니다.
\( 0 = 4 - x^2 - y^2 \)
표준 형식으로 다시 작성합니다.
\( x^2 + y^2 = 2^2 \)
이는 \( x y \) 평면(또는 \( z = 0 \))에서 \( (0,0) \)에서 시작하는 반지름이 \( 2 \)인 원입니다.
Fig.2 - 중심이 \( (0,0) \)이고 반지름이 \( 2 \)인 원인 적분 영역 \( R \)
적분 영역이 원인 경우, 극 좌표에서 이중 적분을 사용하는 것이 더 효율적입니다.
체적 \( V \)은 다음 이중 적분을 사용하여 계산됩니다.
\( V = \displaystyle \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \) , 여기서 \( R \)은 다음과 같이 정의된 적분 영역입니다.
\( R: 0\le \theta \le 2\pi , 0 \le r \le 2 \)
그림 2의 원이며, \( f(x,y) = z = 4 - x^2 - y^2 \)입니다.
극 좌표에서 체적은 다음과 같습니다.
\( \displaystyle V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4-r^2) r dr d\theta \)
\( \displaystyle V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4-r^2) r dr d\theta \)
\( = \int_0^{2\pi} \left[2r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^2 d\theta \)
\( = \int_0^{2\pi} ( 4 ) d\theta \)
\( = 8 \pi \)
예제 2
아래 \( xy \) 평면의 영역 \( R \) 위에 위치한 고체의 체적이 \( z = \sqrt{1-x^2-y^2} \)로 정의된 표면과 동일한 1 단위의 입체 단위가 될 수 있도록 상수 \( a \)를 찾으십시오. (아래 다이어그램 참조)
Fig.3 - 주어진 적분 영역예제 2의 해결책
먼저 그림 2의 주어진 영역을 극 좌표로 변환합니다. 바깥쪽 반원 \( y = \sqrt {1-x^2} \)의 반지름은 \( 1 \)이고 내부 \( y = \sqrt {a^2-x^2} \) 반원의 반지름은 \( a \)입니다.
Fig.4 - 극 좌표에서 적분 영역
극 좌표에서 적분 영역은 다음과 같이 정의됩니다.
\( R: 0\le \theta \le \pi , a \le r \le 1 \)
극 좌표에서
\( z = \sqrt{1-x^2-y^2} = \sqrt{1-r^2} \)
극 좌표에서 체적은 다음과 같습니다.
\( \displaystyle V = \int_0^{\pi} \int_a^1 \sqrt{1-r^2} r dr d\theta \)
\( \displaystyle = \int_0^{\pi} \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} d\theta \)
\( = \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} \pi \)
체적 \( V \)가 \( 1 \)과 같도록하려면
\( \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} \pi = 1 \)
위의 식을 \( a \)에 대해 풀면
\( a = \sqrt{1-\sqrt[3]{\dfrac{9}{\pi ^2}}} \approx 0.174 \)
예제 3
평면 \( 2x + 2 y + z = a , a \gt 0\)을 경계로 하는 사면체의 체적이 \( 10 \) 입방 단위가 되도록 \( a \)를 찾으십시오. \( y = 2 x \) , \( y = 0\) 및 \( z = 0 \)이 됩니다.
예제 3의 해결책
아래는 체적을 계산할 고체를 정의하는 평면이 그려져 있습니다.
Fig.5 - 고체를 정의하는 평면
먼저 적분 영역을 찾으십시오. 삼각형으로 정의되며 세 점으로 정의됩니다: \( O , B \) 및 \( C \)
\( O \)는 좌표계의 원점입니다.
\( B \)는 주어진 평면 \( 2x + 2 y + z = a \)의 방정식에서 \( z = 0\) 및 \( y = 0 \)을 설정하여 \( x \)-축과의 교점입니다.
\( 2x = a \)
\( x \)를 구하십시오
\( x = \dfrac{a}{2} \)
\( C \)는 평면 \( 2x + 2 y + z = a \)와 \( y = 2 x \)의 교차점으로 \( x y \) 평면 위에 있습니다. \( x y \) 평면의 한 점은 \( z = 0 \)입니다.
점 \( C \)는 방정식 \( 2x + 2 y + z = a \)의 \( z = 0 \)를 설정하여 얻으며 얻어진 방정식을 해결함으로써 얻습니다.
\( 2x + 2 y = a \) 및 \( y = 2 x \)
위의 방정식을 대입하여 다음을 얻습니다.
\( y = a/3 \) 및 \( x = a/6 \)
따라서 적분 영역 \( R \)은 다음과 같은 꼭짓점을 가진 \( x y \) 평면의 삼각형입니다.
\(O(0,0)\) , \( B(a/2,0) \) 및 \(C(a/6,a/3)\)
Fig.6 - 적분 영역
사면체의 체적 \( V \)는 다음과 같습니다.
\( V = \displaystyle \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \) , 여기서 \( R \)은 다음과 같이 정의된 적분 영역입니다.
\( R: \dfrac{y}{2} \le x \le \ \dfrac{a}{2} - y , 0 \le y \le \dfrac{a}{3} \)
그리고
\( f(x,y) = z = a - 2x - 2 y \)
\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \int_{\frac{y}{2}}^{ \frac{a}{2} - y} (a - 2x - 2 y) \;dx \;dy \)
내부 적분을 계산합니다.
\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \left[ax-2yx-x^2\right]_{\frac{y}{2}}^{ \frac{a}{2} - y} \;dy \)
\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \left(\frac{9y^2-6ay+a^2}{4}\right) \;dy \)
외부 적분을 평가합니다.
\( V = \left[ \frac{1}{4} \left(3y^3-3a y^2+a^2 y \right) \right]_0^{\frac{a}{3}} \)
\( V = \frac{a^3}{36} \)
참고: 위의 결과가 사면체의 체적에 대한 매우 잘 알려진 공식을 사용하여 얻은 결과와 일치하는지 확인할 수 있습니다.
\( V = \dfrac{1}{3} A \times H \)
여기서 \( A \)는 밑면의 면적이고 \( H \)는 사면체의 아파스에서 밑면까지의 높이입니다.
원하면 확인할 수 있습니다.
체적이 \( 10 \)과 같아지려면
\( \frac{a^3}{36} = 10 \)
\( a \)를 구하십시오
\( a = \sqrt[3] {360} \approx \:7.11378 \)
이중 적분을 사용하여 표면적 계산
평면 \( x y\)에서 영역 \( R \)의 면적 \( A \)은 다음의 이중 적분에 의해 주어집니다. [6]
\[ A = \displaystyle \iint_R 1 \;dy \;dx \]
예제 4
두 곡선 \( y = x^2 \) 및 \( y = - (x-2)^2 +4 \)로 경계지어진 영역의 면적을 이중 적분을 사용하여 계산하십시오.
예제 4의 해결책
먼저 두 곡선을 그리고 두 곡선으로 경계 지어진 영역을 정의합니다.
Fig.7 - 적분 영역
두 곡선은 두 곡선의 방정식 시스템의 해인 점에서 교차합니다.
\( y = x^2 \) 및 \( y = - (x-2)^2 +4 \)
대체하여 해결할 수 있는 방정식
\( x^2 = - (x-2)^2 +4 \)
확장하고 단순화합니다.
\( 2 x^2 - 4x = 0 \)
\( 2x(x-4) = 0 \)
위의 방정식에는 두 개의 해가 있습니다.
\( x = 0 \) 및 \( x = 4 \)
\( y = x^2 \)를 사용하여 \( y \) 좌표와 따라서 점을 계산합니다.
\((0,0) \) 및 \((2,4) \)
두 곡선으로 둘러싸인 영역 \( R \)은 다음과 같이 정의됩니다.
\( R: 0 \le x \le 2 , x^2 \le y \le - (x-2)^2 +4 \)
면적 \( A \)는 다음과 같습니다.
\( A = \displaystyle \int_0^2 \int_{x^2}^{- (x-2)^2 +4} 1 \;dy \;dx \)
내부 적분을 계산합니다.
\( A = \displaystyle \int_0^2 \left[y \right]_{x^2}^{- (x-2)^2 +4} \;dx \)
단순화합니다.
\( A = \displaystyle \int_0^2 (-2x^2+4x) \;dx \)
\( A = \left[-\frac{2x^3}{3}+2x^2\right]_0^2 = 8/3 \)
예제 5
이중 적분을 사용하여 방정식 \( x^2 + (y-2)^2 = 9 \) 및 \( x^2 + y^2 = 9 \)로 정의된 두 원의 공통 영역의 면적을 계산합니다.
예제 5의 해결책
우선 두 곡선을 그리고 두 곡선으로 경계 지어진 영역을 정의합니다. 두 원의 공통 영역은 연한 파란색으로 표시됩니다.
Fig.7 - 두 원의 공통 영역
교차점은 다음 방정식을 풀어서 찾습니다.
\( x^2 + (y-2)^2 = 9 \) 및 \( x^2 + y^2 = 9 \)
왼쪽의 방정식을 확장합니다.
\( x^2 + y^2 - 4 y + 4 = 9 \)
\( x^2 + y^2 = 9 \)
방정식을 빼줍니다.
\( - 4 y + 4 = 0 \)
\( y \)에 대해 풀어줍니다.
\( y = 1 \)
어떤 방정식에 \( y \)를 \( 1 \)로 대체하고 \( x \)를 구하기 위해 \( x = \pm 2 \sqrt 2 \)로 정의할 수 있습니다.
이제 영역 \( R \)을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
\( R: -2\sqrt 2 \le x \le 2\sqrt 2 , 2 - \sqrt{9-x^2} \le y \le \sqrt{9-x^2} \)
영역 \( R \)의 면적은 다음과 같습니다.
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt 2}^{2\sqrt 2} \int_{2 - \sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} 1 \;dy \;dx \)
내부 적분을 계산합니다.
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt 2}^{2\sqrt 2} \; \left[ y \right]_{2 - \sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \; \;dx \)
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt 2}^{2\sqrt 2} \left( 2 \sqrt{9-x^2} - 2 \right) \;dx \)
\( A = \left[ x\sqrt{9-x^2} + 9\arcsin(x/3) - 2x \right]_{-2\sqrt 2}^{2\sqrt 2} \)
참고: \( \int \sqrt{9-x^2}dx \)의 세부 내용은 부록 A에 포함되어 있습니다.
\( A \)를 계산합니다.
\( A = 18\arcsin \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)-4\sqrt{2} \approx 16.5 \)
부록
부록 A
적분을 계산합니다.
\( \displaystyle I = \int \sqrt{9-x^2}dx \)
치환합니다.
\( x = 3 \sin u \)이므로 \( u = \arcsin (x/3) \) 및 \( dx = 3 \cos u \; du \)가 됩니다.
\( 9 - x^2 = 9 - 9 \sin^2 u \)
\( = 9(1-\sin^2) = 9 \cos^2 u \)
및
\( \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9 \cos^2 u} = 3 \cos u \)
치환하고 다음과 같이 씁니다.
\( \displaystyle I = \int \sqrt{9-x^2} \; dx = \int (3 \cos u ) \; 3 \cos u \; du \)
\( \displaystyle = 9 \int \cos^2 u du \)
파워 리덕션 삼각함수 항등식을 사용하여 \( \cos^2 u = \dfrac{\cos(2u)+1}{2} \)로 씁니다.
\( \displaystyle = \dfrac{9}{2} \int \left( \cos(2u)+1\right) du \)
계산합니다.
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{\sin (2u)}{2} + u \right) \)
삼각함수 항등식 \( \sin (2u) = 2 \sin u \cos u \)를 사용합니다.
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \sin u \cos u + u \right) \)
\( u \)를 \( \arcsin (x/3) \)로 대체하고, \( \sin u = \dfrac{x}{3} \) , \( \sin u = \sqrt {1-sin^2 u } = \sqrt {1 - x^2/9} \)로 재작성하여 다음과 같이 씁니다.
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{x}{3} \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{9}} + \arcsin \left(\dfrac{x}{3}\right) \right) \)
\( \displaystyle I = \dfrac{x}{2} \sqrt {9 - x^2} + \dfrac{9}{2} \arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right) \)
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