가우시안 적분 \( \displaystyle I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) 을 이중 적분과 극좌표를 사용하여 평가합니다.
가우시안 적분은 다음과 같이 정의됩니다.
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \]
그리고 우리는 \( I \)을 평가해야 합니다.
먼저 적분들 \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) 그리고 \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \) 가 같은 값을 갖는다는 것을 알아봅니다. 따라서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( I^2 = \displaystyle \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right) \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \right) \)
위의 식을 다음과 같이 이중 적분으로 쓸 수 있습니다.
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy \)
직교 좌표와 극좌표 사이의 관계 \( x = r \cos \theta \) , \( y = r \sin \theta \) , \( r^2 = x^2 + y^2 \) 를 이용하여 이중 적분을 직교 좌표에서 극좌표로 변환하면 다음과 같습니다.
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr \;d\theta \)
\( \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr = -(1/2) e^{-r^2} \) 임을 유의하십시오. 이는 다음과 같은 값을 제공합니다.
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left[-(1/2) e^{-r^2}\right]_0^{\infty} \;d\theta \)
이것을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} (-1/2) \left[e^{-\infty}-e^0 \right] \;d\theta \)
한계값을 사용하면, \( e^{-\infty} = \lim_{a\to\infty} e^{-a} = 0 \) 이므로 다음을 계산합니다.
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2} \;d\theta \)
위의 적분을 계산합니다
\( I^2 = \
dfrac{1}{2} \left[\theta\right]_0^{2\pi} \)
\( = \dfrac{1}{2} \left[2\pi - 0 \right] \)
\( = \pi \)
지금까지 우리는 \( I^2 = \pi \)를 계산했으며 따라서 제곱근을 취하면
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]