푸리에 변환 예제
목차
푸리에 변환의 정의
푸리에 변환은 시간 함수(또는 신호)를 주파수 영역으로 분해합니다.
수학적으로는 다음과 같이 정의됩니다 [1], [2], [3]:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
여기서 \( F(\omega) \)는 함수 \( f(t) \)의 푸리에 변환이며, \( \omega \)는 각주파수이고 \( j \)는 허수 단위로 정의됩니다. \( j = \sqrt {-1} \) .
또한, 푸리에 \( F(\omega) \)를 시간 영역으로 다시 변환하는 역푸리에 변환이 있습니다:
\[ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
예제 1: 사각파의 푸리에 변환
사각파 함수 \( f(t) \)를 다음과 같이 정의합시다:
\[
f(t) = \begin{cases} 1, & \text{if } -\dfrac{T}{2} \leq t \leq \dfrac{T}{2} \\ 0, & \text{그 외의 경우} \end{cases}
\]
\( f(t) \)의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다:
\[
F(\omega) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-j\omega t} dt
\]
이 적분을 평가합시다:
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left[ e^{-j\omega t}\right]^{T/2}_{-T/2}
\]
\[
= \dfrac{1}{-j\omega} \left( e^{-j\omega \dfrac{T}{2}} - e^{j\omega \dfrac{T}{2}} \right)
\]
오일러 공식 \( e^{j \; x} = \cos(x)+ j\; \sin(x) \)을 사용하여 위의 적분을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다:
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left( \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) \right)
\]
\[
= \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
따라서 사각파 함수의 푸리에 변환은 다음과 같습니다:
\[
F(\omega) = \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
이것은 사각파 함수의 진폭 스펙트럼입니다. 이 스펙트럼은 주파수 구성 요소의 진폭이 주파수에 따라 어떻게 변하는지를 보여줍니다.
예제 2: 사인 함수의 푸리에 변환
사인 함수의 푸리에 변환을 찾아봅시다:
\[ f(t) = A \sin( \omega_0 t) \]
여기서:
- \( A \)는 사인파의 진폭입니다.
- \( \omega_0 \)는 사인파의 각주파수입니다.
- \( t \)는 시간입니다.
\( f(t) \)의 푸리에 변환은 다음과 같이 주어집니다:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
\( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \)를 대입하면:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} A \sin( \omega_0 t) e^{-j\omega t} dt \]
오일러 공식을 사용하여 사인 함수를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:
\[ \sin(x) = \dfrac{e^{jx} - e^{-jx}}{2\;j} \]
따라서:
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{j(\omega_0 - \omega t)} - e^{-j(\omega_0 t + \omega t)}) dt \]
이 적분들을 각각 계산하면:
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2 \; j} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(\omega_0 t - \omega t)} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega_0 + \omega t)} dt \right) \]
이 적분들을 평가하기 위해 디랙 델타 함수의 성질을 사용할 수 있습니다. \( \omega = \omega_0 \)일 때, 첫 번째 적분은 \( 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \)을, 두 번째 적분은 \( 2\pi \delta(\omega + \omega_0) \)을 산출합니다.
따라서 \( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \)의 푸리에 변환은 다음과 같습니다:
\[ F(\omega) = -j \pi A (\delta(\omega - \omega_0) + j \pi A \delta(\omega + \omega_0)) \]
이 결과는 푸리에 변환이 주파수 \( \omega = \pm \omega_0 \)에 위치한 두 개의 임펄스로 구성되며, 그 진폭은 \( \pi A \)임을 보여줍니다.
추가 참고 문헌 및 링크
[1] - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
[2] - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
[3] - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
푸리에 급수 및 변환 공식