정의: 만약 \( f(t) \)가 \( t \lt 0 \)인 경우에 \( f(t) = 0 \)인 단측 함수이면, Laplace 변환 \( F(s) \)은 다음과 같이 정의됩니다.
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
여기서 \( s \)는 위의 부적절한 적분이 수렴하는 복소수일 수 있습니다.
\( \delta(t) \)와 같은 함수를 수용하기 위해 Laplace 함수의 보다 정확한 정의는 다음과 같습니다.
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
예제와 해답을 포함한 Laplace 변환 계산이 포함되어 있습니다.
함수 | 변환 |
|---|---|
| \( f(t) \) | \( F(s) \) |
| \( u(t) \) | \( \dfrac{1}{s} \) |
| \( t^n \) | \( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \) |
| \( e^{-at} \) | \( \dfrac{1}{s+a} \) |
| \( t^n e^{-at} \) | \( \dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} \) |
| \( \sin \omega t \) | \( \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} \) |
| \( t \sin \omega t \) | \( \dfrac{2 \omega s}{(s^2+\omega^2)^2} \) |
| \( \cos \omega t \) | \( \dfrac{s}{s^2+\omega^2} \) |
| \( t \cos \omega t \) | \( \dfrac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2} \) |
| \( \sinh \omega t \) | \( \dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2} \) |
| \( \cosh \omega t \) | \( \dfrac{s }{s^2 - \omega^2} \) |
| \( \delta( t - \tau) \) | \( e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \) |
| \( u( t - \tau) \) | \( \dfrac{1}{s} e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \) |
참고
1) \( \delta( t ) \)는 엔지니어링에서 디랙 델타 함수 또는 임펄스 함수라고도 합니다.
2) \( u( t) \)는 헤비사이드 단계 함수입니다.