단계별 설명이 포함된 Laplace 변환 계산 예제를 제공합니다.
만약 \( f(t) \) 가 \( t \lt 0 \) 에 대해 \( f(t) = 0 \) 인 단측 함수이면, Laplace 변환
\( F(s) \) 는 불완전 적분에 의해 정의됩니다.
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
또는 아래의 보다 정확한 정의를 사용하여 델타 함수 \( \delta (t) \)와 같은 함수에 대응합니다. 이것은 아래의 예제 5에서 볼 것입니다.
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
여기서 \( s \) 는 위의 불완전 적분이 수렴하도록 허용되는 복소수입니다.
다음에서 \( j \) 는 \( j = \sqrt{-1} \) 로 정의됩니다.
예제 1
함수 \( f(t) \)의 Laplace 변환을 찾으십시오.
\[ f(t) = 1 \]
예제 1의 해답
위에서 제공된 Laplace 변환의 정의를 사용합니다.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \)
\( f(t) = 1 \) 적분 구간 \( [0, \infty ) \) 에서, 따라서 \( F(s) \) 는 다음과 같이 단순화됩니다.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} dt \)
위의 불완전 적분을 다음과 같이 계산합니다.
\( \displaystyle F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ -\dfrac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{T} \)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} - \dfrac{e^{-sT} - e^{0}}{s} \)
만약 \( s \)의 실수 부분이 양수라면, \( \lim_{T \to +\infty} e^{-sT} = 0\) 이므로 적분이 수렴하고 \( F(S) \) 는 다음과 같이 주어집니다.
\[ F(S) = \dfrac{1}{s} \]
예제 2
함수 \( f(t) \)의 Laplace 변환을 찾으십시오.
\[ f(t) = e^{at} \]
예제 2의 해답
위에서 제공된 정의를 사용합니다.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st} dt \)
지수를 단순화합니다.
\( \displaystyle \quad \quad = \int_{0}^{+\infty} e^{(a-s)t} dt \)
위의 불완전 적분을 계산합니다
.
\( F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{a - s} e^{(a-s)t} \right]_{0}^{T} \)
\( \displaystyle \quad \quad = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(a-s)T} - e^{0}}{a-s} \)
\( s \)의 실수 부분이 \( a \)의 실수 부분보다 큰 경우, \( \lim_{T \to +\infty} e^{(a-s)T} = 0\) 이므로 적분이 수렴하고 \( F(S) \) 는 다음과 같이 주어집니다.
\[ F(S) = \dfrac{1}{s - a} \]
예제 3
함수 \( f(t) \)의 Laplace 변환을 찾으십시오.
\[ f(t) = \sin(\omega t) \]
예제 3의 해답
위에서 제공된 정의를 사용합니다.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \sin(\omega t) e^{-st} dt \)
\( \sin(\omega t) \) 를 지수로 표현합니다.
\( \sin(\omega t) = \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} \)
치환하고 적분을 계산합니다.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} e^{-st} dt \)
적분식을 분리하고 적분을 합/차로 다시 쓰세요.
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t} e^{- s t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{-j \omega t}e^{ - st}}{2 j} dt \)
지수를 그룹화하고 \( t \)를 인수로 빼냅니다.
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (j \omega - s) t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(j \omega + s) t}}{2 j} dt \)
적분을 계산합니다.
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2j( j \omega - s)} e^{(j\omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{-2j( j \omega + s)} e^{ - (j\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T} - e^0}{2j( j \omega - s)} - \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }- e^0}{-2j( j \omega + s)} \)
만약 \( s \)의 실수 부분이 양수라면, \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T}}{2j( j \omega - s)} = 0 \) 이고 \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }}{-2j( j \omega + s)} = 0 \) 이므로 적분이 수렴하고 \( F(S) \) 는 다음과 같이 주어집니다.
\( \displaystyle F(s) = - \dfrac {1}{2j( j \omega - s)} - \dfrac {1}{2j( j \omega + s)} \)
공통 분모로 설정하고 단순화하여 다음을 얻습니다.
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{\omega}{\omega^2+s^2} \]
예제 4
함수 \( f(t) = \cosh(\omega t) \)의 Laplace 변환을 찾으십시오.
예제 4의 해답
Laplace 변환의 정의를 사용합니다.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \cosh(\omega t) e^{-st} dt \)
\( \cosh(\omega t) \)를 지수의 형태로 표현하면 다음과 같습니다.
\( \cosh(\omega t) = \dfrac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} \)
치환하고 적분을 계산합니다.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{\omega t } + e^{-\omega t }}{2 } e^{-st} dt \)
적분식을 분할합니다.
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ \omega t} e^{ - s t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -\omega t}e^{ - s t}}{2} dt \)
지수를 그룹화하고 \( t \)를 인수로 빼냅니다.
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (\omega - s)t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(\omega + s)t}}{2} dt \)
적분을 계산합니다.
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2( \omega - s)} e^{(\omega-s)t} \right]_{0}^{T} + \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{ - 2( \omega + s)} e^{ - (\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(\omega-s)T}-e^0}{2( \omega - s)} + \lim_{T \to +\infty} \dfrac{ e^{ - (\omega + s)T} - e^0 }{ - 2( \omega + s)} \)
\( s \)의 실수 부분이 \( \omega \)보다 큰 경우, \( \lim_{T \to +\infty} e^{(\omega-s)T} = 0 \) 이고 \( \lim_{T \to +\infty} e^{-(\omega + s)T} = 0 \) 이므로 적분이 수렴하며 다음과 같습니다.
\( \quad \quad \displaystyle F(s) = \dfrac{-1}{2(\omega - s)} + \dfrac{-1}{-2(\omega + s)} \)
그리고 단순화하여 다음과 같습니다.
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{s}{s^2 - \omega^2} \]
예제 5 Dirac 델타 함수의 Laplace 변환.
델타 함수의 Laplace 변환을 찾으십시오: a) \( \delta (t) \) 및 b) \( \delta (t - a) , a \gt 0\)
예제 5의 해답
먼저, 델타 함수를 포함하는 적분은 다음과 같이 계산됩니다.
\[
\displaystyle \int_{A}^{B} f(t) \delta(t - a) dt =
\begin{cases}
1 & \text{if} A \lt a \lt B \\
0 & \text{otherwise} \\
\end{cases}
\]
a)
\( \delta (t) \)의 Laplace 변환을 찾으려면, Laplace 변환의 정의가 다음과 같아야 합니다.
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt \)
적분구간은 \( 0^{-} \)부터 시작하여 적분 안에 델타 함수 \( \delta(t) \)를 수용합니다.
위의 적분을 평가합니다.
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1 \)
b)
함수 \( \delta (t - a) , a \gt 0\)에 대해,
\( a \gt 0 \)이므로, Laplace 변환의 정의는 다음과 같습니다.
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t - a)\} = \int_{0}^{+\infty} \delta(t - a) e^{-st} dt = e^{-as} \)