전자 AC 회로 문제 해결

목차

키르흐호프의와 오옴의 법칙은 복소 형태의 임피던스를 사용하여 AC 회로 문제를 해결하는 데에 확장되고 사용됩니다.
전압, 전류 및 임피던스와 같은 모든 양은 표준 및 복소수의 극형으로 표시됩니다.

복소수 재검토

허수 단위는 \( j = \sqrt {-1} \) 또는 \( j^2 = - 1 \)으로 정의됩니다.
표준 형태 \( Z = a + j b \)의 복소수 \( Z \)는 다음과 같이 극형으로 쓸 수 있습니다.
\( Z = r \; \angle \; \theta \)
여기서 \( r \)과 \( \theta \)는 \( Z \)의 절대값과 인수이며 각각 다음과 같이 정의됩니다.
\( r = |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \) 및 \( \theta = \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) \) (범위: \( -\pi \lt \theta \le \pi \))
복소수를 극형으로 나누거나 곱하는 것이 더 쉽습니다.
\( Z_1 = r_1 \; \angle \; \theta_1 \) 및 \( Z_2 = r_2 \; \angle \; \theta_2 \)로 가정합시다.
\( Z_1 \cdot Z_2 = r_1 \cdot r_2 \; \angle \; \theta_1 + \theta_2 \)
\( \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \; \angle \; \theta_1 - \theta_2 \)

해결책이 포함된 문제

문제 1
아래 회로에서 전압 소스 \( v_i = 10 \cos (\omega t ) \) V, 저항 \( R = 100 \; \Omega \), 캐패시터 \( C = 0.47 \; \mu F \), 주파수 \( f = 1 \) kHz 및 \( \omega = 2 \pi f \)일 때 저항 \( R \)과 캐패시터 \( C \)를 통한 전류와 전압의 크기와 위상 변화(극형)를 찾으십시오.

문제 1의 해결책
\( V_i \), \( V_R \) \( V_C \) 및 \( I \)를 \( v_i \), \( v_R \) \( v_C \) 및 \( i \)의 복소 형태로 정의합시다.


회로 주위의 키르흐호프의 전압 법칙을 사용하여 방정식을 작성합니다.
\( V_i - V_R - V_C = 0\)      (1)
저항 \( R \) 및 캐패시터 \( C \)의 복소 임피던스는 다음과 같습니다.
\( Z_R = R \; \)       (실수)
\( Z_C = - j \dfrac{1}{\omega C} \; \)       (허수)

오옴의 법칙을 사용하여
\( V_R = Z_R I \) 및 \( V_C = Z_C I \)을 작성합니다.
방정식 (1)에 \( V_R \) 및 \( V_C \)를 그들의 표현으로 대체합니다.
\( V_i - Z_R I - Z_C I = 0 \)
위의 방정식을 \( I \)에 대해 푸세요.
\( I = \dfrac{V_i}{Z_R + Z_C} \)

다음과 같이 오옴의 법칙을 사용하여 \( V_R \) 및 \( V_C \)를 계산합니다.
\( V_R = Z_R I = \dfrac{V_i Z_R }{Z_R + Z_C} \)

\( V_C = Z_C I = \dfrac{V_i Z_C }{Z_R + Z_C} \)


복소 극형으로 \( v_i = 10 \cos (\omega t ) \)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( V_i = 10 \; \angle \; 0 \)

이제 \( V_i \), \( Z_R \) 및 \( Z_C \)를 위의 표현으로 대체하여 다음을 얻습니다.
\( I = \dfrac{10 \; \angle \; 0}{R - j \dfrac{1}{\omega C}} \)

\( V_R = \dfrac{10 R \; \angle \; 0 \; }{R - j \dfrac{1}{\omega C}} \)

\( V_C = \dfrac{ (10 \; \angle \; 0 \;) (- j \dfrac{1}{\omega C}) }{R - j \dfrac{1}{\omega C}} \)

위의 표현을 모두 분모가 \( Z_D = R - j \dfrac{1}{\omega C} \)인 것으로 바꾸고 복소 형태로 다시 쓰십시오.
\( Z_D \)의 절대값 : \( | Z_D | = \sqrt {R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}} \)

\( Z_D \)의 인수 : \( \phi = \arctan \dfrac{-\dfrac{1}{\omega C}}{R} = \arctan \dfrac{-1}{R \omega C} \)

이제 복소수 \( - j \dfrac{1}{\omega C} \)를 극형으로 다시 쓰겠습니다.
\( - j \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{\omega C} \; \angle \; -\dfrac{\pi}{2} \)

이제 모든 복소수를 \( I \), \( V_R \) 및 \( V_C \)에 대한 극형으로 대체하고 다시 작성합니다.
\( I = \dfrac{10 \; \angle \; 0}{{ | Z_D | \; \angle \; \phi}} \)

\( V_R = \dfrac{10 R \; \angle \; 0 \; }{ | Z_D | \; \angle \; \phi} \)

\( V_C = \dfrac{10 \; \angle \; 0 \; (\dfrac{1}{\omega C} \; \angle \; -\dfrac{\pi}{2}) }{{ | Z_D | \; \angle \; \phi}} \)

위를 간소화하면 다음과 같습니다.

\( I = \dfrac{10} { | Z_D | } \; \angle \; - \phi \)

\( V_R = \dfrac{10 R}{ | Z_D |} \; \angle \; - \phi \)

\( V_C = \dfrac{10}{ \omega C | Z_D | } \; \angle \; -\dfrac{\pi}{2}- \phi \)

이제 모든 알려진 값을 숫자로 대체하겠습니다.
\( \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = 2 \cdot \pi 10^3 = 2000 \pi \)
\( | Z_D | = \sqrt {R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}} = \sqrt {100^2 + \dfrac{1}{(2000 \pi)^2 (0.47 \cdot 10^{-6})^2}} = 353.08 \; \Omega \)
\( \phi = \arctan \dfrac{-\dfrac{1}{\omega C}}{R} = \arctan \dfrac{-\dfrac{1}{2000 \pi \cdot 0.47 \cdot 10^{-6} }}{100} = -73.55^{\circ} \)
따라서

\( I = \dfrac{10} { | Z_D | } \; \angle \; - \phi = 0.0283 \; \angle \; 73.55^{\circ} \)
\( I \)의 크기는 \( 0.02832 \; A\)이고 위상 변화는 \( 73.55^{\circ} \)입니다.

\( V_R = \dfrac{10 R}{ | Z_D |} \; \angle \; - \phi = 2.832 \; \angle \; 73.55^{\circ} \)
\( V_R \) 의 크기는 \( 2.832 \; V\)이고 위상 변화는 \( 73.55^{\circ} \)입니다.

\( V_C = \dfrac{10}{ \omega C | Z_D | } \; \angle \; -\dfrac{\pi}{2}- \phi = 9.591 \; \angle \; -16.45^{\circ} \)
\( V_C \)의 크기는 \( 9.591 \; V\)이고 위상 변화는 \( -16.45^{\circ} \)입니다.

문제 2

아래 회로에서 전압 \( v_o \)의 크기와 위상 변화 (극형)를 찾으십시오. 전압원 \( v_i = 10 \cos (\omega t ) \; V \), 저항 \( R = 100 \; \Omega \), \( C = 0.47 \; \mu F \), \( L = 300 \; mH \), 주파수 \( f = 2 \) kHz 및 \( \omega = 2 \pi f \)로 주어진 경우입니다.


문제 2의 해결책
\( I \), \( V_i \) 및 \( V_0 \)를 각각 \( i \) , \( v_i \) 및 \( v_o \)의 복소 형태로 정의합니다.
\( V_i \)는 다음과 같이 극형으로 표시할 수 있습니다
\( V_i = 10 \; \angle \; 0 \)
저항 \( R \)의 임피던스는 다음과 같습니다
\( Z_R = R \; \)
커패시터 \( C \)의 임피던스는 다음과 같습니다
\( Z_C = - j \dfrac{1}{\omega C} \; \)
저항 \( R \)과 커패시터 \( C \)는 병렬로 연결됩니다. \( R \) 및 \( C \)와 동등한 임피던스 \( Z \)는 다음과 같습니다.

\( Z = \dfrac{Z_R \cdot Z_C}{Z_R + Z_C} \)
인덕터 \( L \)의 복소 임피던스 \( Z_L \)은 다음과 같습니다
\( Z_L = j \omega L \)
회로 주위의 전압에 키르히호프의 전압 법칙을 사용하여 방정식을 작성합니다.
\( V_i - V_L - V_0 = 0\)      (1)
오옴의 법칙을 사용하여
\( V_L = Z_L I \) 및 \( V_0 = Z I \)
\( V_L \) 및 \( V_0 \)를 방정식 (1)의 표현으로 대체합니다.
\( V_i - Z_L I - Z I = 0 \)
\( I \)를 푸세요
\( I = \dfrac{V_i}{ Z_L + Z} \)
오옴의 법칙을 사용하여
\( V_o = Z I = \dfrac{Z}{ Z_L + Z} V_i\)
알려진 양으로 대체하여 수치 값을 찾습니다
\( \omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 2000 = 4000 \pi \)
\( Z_R = R = 100 \)
\( Z_C = - j \dfrac{1}{\omega C} = - j \dfrac{1}{4000 \pi \cdot 0.47 \cdot 10^{-6}} = - 169.314 j \)

\( Z = \dfrac{R \cdot Z_C}{R + Z_C} \) ( (\( R \) and \( C \) in Parallel )

\( = \dfrac{100 \cdot (- 169.314 j)}{100 - 169.314 j } = 74.138 -43.787 j\)
and
\( Z_L = j \omega L = 4000 \pi \cdot 300 \cdot 10^{-3} j = 3769.911 j \)
\( V_o = \dfrac{Z}{ Z_L + Z} V_i \)

\( = \dfrac{Z}{ Z_L + Z} V_i \)

\( = \dfrac{74.138 -43.787 j}{ 3769.911 j + 74.138 -43.787 j} V_i \)
간소화
\( = (-0.01135 -0.02012 j) V_i \)
복소수 \( (-0.01135 -0.02012 j) \)를 극형으로 작성하고 위에서 주어진 극형 \(V_i \)를 대체합니다.
\( = ( 0.02310 \angle -119.43^{\circ} ) (10 \; \angle \; 0) \)
간소화
\( V_o = 0.23 \; \angle \; -119.43^{\circ} \)

문제 3

아래 회로에서 전압 \( v_o \)의 크기와 위상 변화 (극형)를 찾으십시오. 전압원 \( v_i = 10 \cos (\omega t ) \; V \), 저항 \( R_1 = 220 \; \Omega \), \( R_2 = 2.2 \; k\Omega \), \( R_3 = 1 \; k\Omega \), \( C_1 = 0.47 \; \mu F \), \( C_2 = 1. 5 \; \mu F \), \( L = 30\; mH \), 주파수 \( f = 2.5 \) kHz 및 \( \omega = 2 \pi f \)로 주어진 경우입니다.

예제 3의 해결책
\( I_1 \), \( I_2 \), \( I_3 \), \( V_i \) 및 \( V_0 \)를 각각 \( i_1 \) , \( i_2 \), \( i_3 \) , \( v_i \) 및 \( v_o \)의 복소 형태로 정의합니다.
\( V_i \)는 다음과 같이 극형으로 표시할 수 있습니다
\( V_i = 10 \; \angle \; 0 \)
\( V_o \)는 오옴의 법칙을 사용하여 계산할 수 있습니다
\( V_o = R_3 I_3\)
따라서 \( I_3 \)를 계산해야 합니다
회로에 표시된 것처럼 임피던스를 그룹화하여 다음과 같이 설정하십시오.
\( Z_1 = R_1 \)
\( Z_2 = \dfrac{R_2 ( - \dfrac{1}{\omega C_1} j)}{R_2 - \dfrac{1}{\omega C_1} j} \)      ( \( C_1 \) and \( R_2 \) are in parallel)
\( z_3 = R_3 + j \omega L - \dfrac{1}{ \omega C_2} j \)      ( \( C_2 \), \( L \), and \( R_3 \) are in series)

두 개의 닫힌 루프에 키르히호프의 전압 법칙을 적용하면 다음과 같은 2개의 방정식이 나옵니다
\( V_i - V_{z_1} - V_{z_2} = 0 \)
\( V_{z_2} - V_{z_3} = 0 \)
오옴의 법칙을 적용하여 \( V_{z_1} = Z_1 I_1 \), \( V_{z_2} = Z_2 I_2 \), \( V_{z_3} = Z_3 I_3 \)로 작성하고 위의 방정식에 대입하여 전류만 포함된 방정식을 얻습니다.
\( V_i - Z_1 I_1 - Z_2 I_2 = 0 \)     (1)
\( Z_2 I_2 - Z_3 I_3 = 0 \)     (2)
이제 노드 A의 키르히호프의 전류 법칙을 사용하여
\( I_1 = I_2 + I_3 \)     (3)
3개의 방정식과 3개의 미지수 \( I_1 \), \( I_2 \), \( I_3 \)가 있지만, 우리는 \(I_3\)만 필요합니다.
방정식 (3)을 사용하여 방정식 (1)에서 \( I_1 \)을 \( I_2 + I_3 \)으로 대체하고 방정식에서 \( I_1 \)을 제거하여 미지수가 2개인 방정식 체계로 끝내십시오.
\( V_i - Z_1 ( I_2 + I_3) - Z_2 I_2 = 0 \)     (4)
\( Z_2 I_2 - Z_3 I_3 = 0 \)     (5)
위의 방정식을 표준 형식으로 다시 작성하십시오
\( (Z_1 + Z_2 ) I_2 + Z_1 I_3 = V_i \)     (4)
\( Z_2 I_2 - Z_3 I_3 = 0 \)     (5)
이러한 방정식 체계를 해결하기 위해 결정론을 사용하십시오
\( I_3 = \dfrac{\begin{vmatrix} Z_1 + Z_2 & V_i \\ Z_2 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} Z_1 + Z_2 & + Z_1 \\ Z_2 & -Z_3 \end{vmatrix}} \)
결정량을 계산하여 다음을 찾으십시오
\( I_3 = \dfrac{Z_2}{(Z_1+Z_2)Z_3 + Z_1 Z_2} V_i \)

수치 계산
\( \omega = 2 \pi f = 5000 \pi \)
\( Z_1 = 220 \)
\( Z_2 = \dfrac{2200 ( - \dfrac{1}{5000 \pi \cdot 0.47 10^{-6}} j)}{2200 - \dfrac{1}{5000 \pi \cdot 0.47 10^{-6}} j} \)

\( Z_2 = 8.30804 -134.93950 j \)

\( z_3 = 1000 + 5000 \pi \cdot 30 \cdot 10^{-3} j - \dfrac{1}{ 5000 \pi \cdot 1.5 \cdot 10^{-6}} j \)
\( Z_3 = 1000 + 428.79757 j \)
\( I_3 = (0.00013 - 0.00043 j)V_i = 0.00044 \angle -73.18^{\circ} \cdot 10 \angle 0\)
\( V_0 = R_3 I_3 = 1000 \cdot 0.00044 \angle -73.18^{\circ} \cdot 10 \angle 0 \)
간소화
\( V_0 = 4.4 \angle -73.18^{\circ} V \)

답과 함께 더 많은 문제

문제 4
\( v_i = 10 \angle 0^{\circ} \) , \( R = 200 \; \Omega \), \( C = 0.47 \; \mu F \), \( L = 40 \; mH \) , 주파수 \( f = 1 \) kHz가 주어졌습니다.
복소 형태의 전류 \( I \) 및 인덕터 \( V_0 \) 전압을 찾으십시오.

문제 4에 대한 답

답: \( I = 0.047 \angle -47.84^{\circ}\) , \(V_0 = 11.38 \angle 42.16^{\circ} \)

문제 5
\( v_i = 10 \angle 0^{\circ} \) , \( R_1 = 100 \; \Omega \), \( C = 0.47 \; \mu F \), \( R_2 = 120 \; \Omega \), \( R_3 = 200 \; \Omega \), \( R_4 = 400 \; \Omega \), \( L = 20 \; mH \) , 주파수 \( f = 2 \) kHz가 주어졌습니다.
각 저항에 대한 전류 \( I_1 \), \( I_2 \) , \( I_3 \) 및 복소 형태의 전압을 찾으십시오.

문제 5에 대한 답
답변
전류: \( I_1 = 0.054 \angle 10.55^{\circ} \; , \; I_2 = 0.048 \angle 23.01^{\circ} \; , \; I_3 = 0.013 \angle -42.22^{\circ} \)
전압: \( V_{R_1} = 5.49 \angle 10.55^{\circ} \; , \; V_{R_2} = 4.71 \angle -12.32^{\circ} \; , \; V_{R_3} = 2.60 \angle -42.22^{\circ} \; , \; V_{R_4} = 2.77 \angle 15.63^{\circ} \)

더 많은 참고 자료 및 링크