공진 시리즈 RLC 회로

목차

공진 RLC 시리즈 회로 및 공진 주파수 , 차단 주파수 의 공식이 개발되었습니다. 대역폭 및 품질 지수 가 정의되고 모두 예제와 함께 상세한 해법이 제시되었습니다. \( \) \( \) \( \) \( \)
다음에는 대문자 \( I \)가 실수 전류 \( i \)의 복소 (극좌표) 형태이며 대문자 \( V_i \)가 실수 전압 \( v_i \)의 복소 (극좌표) 형태라는 것을 유의하십시오.
공진 시리즈 RLC 회로 계산기 를 사용하여 아래 예제의 계산을 검증하거나 이러한 회로의 연습 및 조사를 더 할 수 있습니다.

A - 공진 시리즈 RLC 회로

아래 그림과 같은 시리즈 RLC 회로를 고려해보십시오.

주파수 \( f \)의 전압원에 의해 공급되는 회로의 총 임피던스 \( Z \)는 다음과 같습니다.
\[ Z = R + j \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right) \]
전류 \( I \)와 전압 \( V_i \) 사이의 관계는 다음과 같습니다.
\[ I = \dfrac{V_i}{Z} \]
여기서 \( V_i \)와 \( I \)는 각각 전압 \( v_i \)와 전류 \( i \)의 복소수 형태입니다.
복소수의 크기의 정의를 사용하면 크기 \( |Z| \)는 다음과 같습니다.
\( |Z| = \sqrt {R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
\( V_0 \)이 전압원 \( v_i = V_0 \cos (\omega t) \)의 피크 값이라면, \( I \)의 피크 값 \( I_0 \)은 다음과 같습니다.
\( I_0 = \dfrac{V_0}{ |Z| } = \dfrac{V_0}{ \sqrt {R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} } \)
공진 주파수는 \( I_0 \)이 최대 또는 \( Z \)의 크기가 최소인 주파수로 정의됩니다.
저항 \( R \)이 주파수에 독립적이므로 \( |Z| \)의 최소값은 \( \omega = \omega_r \)에서 발생하며 다음과 같습니다.
\( \left(\omega_r L - \dfrac{1}{\omega_r C} \right) = 0 \)
위의 식을 \( \omega_r \)에 대해 풀어 공진 주파수를 얻습니다.
\[ \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt {L C}} \quad \quad (I) \]
공진 주파수 \( \omega = \omega_r \)에서 다음이 성립합니다.
1) \( Z = R \)
\( V_0 \)에 대해, 전압원 \( v_i \)의 피크 값을위한 \( I \)의 피크 값은 다음과 같습니다.
2) \( I_0 = \dfrac{V_0}{R} \)
\( X_L = \omega L \) 및 \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)라고 가정합시다.
3) \( X_L = X_C \)

예제 1
위의 시리즈 RLC 회로에서 \( R=300 \; \Omega \), \( L = 100 \; mH \), \( C = 100 \mu F \)로 가정합니다.
a) 공진 주파수 \( \omega_r \) 찾기
b) 주파수 \( \omega \)의 함수로 \( |Z| \), \( X_L = \omega L \), \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \) 및 \( I_0 \)의 그래프 그리기 및 얻은 그래프에 대해 논의하기.

예제 1의 해법
a)
공진 주파수 \( \omega_r \)는 다음과 같습니다.
\( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt {L C}} = \dfrac{1}{\sqrt{100\times10^{-3} \times 100 \times 10^{-6}}} \approx 316.23\)
b)
아래에는 \( |Z| \), \( X_L \) 및 \( X_C \)의 그래프가 표시됩니다.
그래프에서 \( |Z| \)는 \( R = 300 \; \Omega \)과 같은 최소값을 갖습니다 (점 A)
\( X_L \) 및 \( X_C \)의 그래프가 교차되고 (점 B), 따라서 \( X_L = X_C \) 또는 \( \left(\omega_r L - \dfrac{1}{\omega_r C} \right) = 0 \)입니다.



아래 그래프에서 전류 \( I_0 \)이 표시되며 \( \omega_r \approx 316.23\)에서 최대입니다 (소수점 두 자리로 반올림)

B - 공진 회로의 평균 전력

시리즈 RLC 회로에 전달되는 평균 전력 \( P_a \)는 다음과 같습니다: \[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \quad \quad (II) \] 여기서 \( \theta \)는 임피던스 \( Z = R + j \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right) \)의 인수이며 다음과 같습니다.
\( \theta = \arctan \left( \dfrac{ \omega L - \dfrac{1}{\omega C} }{R} \right) \)
역삼각함수의 속성을 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다.
\( \tan \theta = \left( \dfrac{ \omega L - \dfrac{1}{\omega C} }{R} \right) \)
\( \theta \)는 다음과 같은 직각 삼각형의 예각으로 가정할 수 있습니다. (직각 삼각형에서 각의 탄젠트의 정의를 사용하여 위에서 정의한 \( \tan \theta \)를 얻을 수 있음을 확인하십시오.



이제 동일한 삼각형을 사용하여 power factor \( \cos \theta \) 를 계산합니다.
삼각형의 빗변은 다음과 같이 계산됩니다.
\( AC = \sqrt {R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
\( \cos \theta = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{R}{\sqrt {R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \)
위의 식 (II)에서 \( \cos \theta \)와 \( |Z| \)를 대입하고 전력 \( P_a \)을 다음과 같이 표현합니다.
\( \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 \sqrt {R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} }\dfrac{R}{\sqrt {R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \)
간단히
\[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2 R}{2 \left({R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \right) } \quad \quad (III) \]
공진 주파수 \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt {LC}} \)에서 \( \left(\omega_r L - \dfrac{1}{\omega_r C} \right) = 0 \)이므로 전력은 최대이며 다음과 같습니다. \[ P_{a max} = \dfrac{V_0^2}{2 \; R} \quad \quad (IV) \]

C - 공진 회로의 차단 주파수 및 품질 계수

이제 차단 주파수를 \( \omega_c \)로 정의하고 식 (III)에서의 전력 \( P_a(\omega) \)가 (IV)의 최대 전력 \( P_{a max} \)의 반 값에서 발생하는 주파수로 정의합니다.
따라서 우리는 다음 방정식을 해결해야 합니다.
\( P_a (\omega_c ) = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{V_0^2}{2 \; R} \right) \)

\( \dfrac{V_0^2 R}{2 \left({R^2 + \left(\omega_c L - \dfrac{1}{\omega_c C} \right)^2} \right) } = \dfrac{1}{2} \dfrac{V_0^2}{2 \; R} \)
간단히하면
\( \dfrac{ R}{2 \left({R^2 + \left(\omega_c L - \dfrac{1}{\omega_c C} \right)^2} \right) } = \dfrac{1}{4 R} \)
교차해서 간단히 하고 위의 방정식을 다음과 같이 다시 작성합니다.
\( (\omega_c L - \dfrac {1}{\omega_c C } ) = R^2 \)
제곱근을 추출하여 두 방정식을 얻습니다.
\( \omega_c L - \dfrac {1}{\omega_c C} = \pm R \)
모든 항에 \( \omega_c C \)를 곱하고 간단히합니다.
\( \omega_c^2 L C - 1 = \pm \omega_c R C \)
표준형의 이차방정식으로 다시 작성합니다.
\( \omega_c^2 L C \pm \omega_c R C - 1 = 0\)
첫 번째 이차 방정식을 해결하여 두 가지 해를 얻습니다.
\( \omega_{c1} = \dfrac {- R C \pm \sqrt{ (R C)^2 + 4 L C }}{ 2 L C } \)

두 번째 이차 방정식을 해결하여 두 가지 해를 얻습니다.
\( \omega_{c2} = \dfrac {R C \pm \sqrt{ (R C)^2 + 4 L C}}{ 2 L C } \)
총 4 개의 해가 있습니다. \( \sqrt{ (R C)^2 + 4 L C } \)는 \( RC \)보다 크기 때문에 차단 주파수는 양수이므로 유효한 해는 두 개입니다.
차단 주파수 \( \omega_{c1} \) 및 \( \omega_{c2} \)는 다음과 같은 두 해입니다.
\( \omega_{c1} = \dfrac {- R C + \sqrt{ (R C)^2 + 4 L C }}{ 2 L C } \)

\( \omega_{c2} = \dfrac {R C + \sqrt{ (R C)^2 + 4 L C}}{ 2 L C } \)
우리는 이미 공진 주파수 \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \)를 찾았습니다. \( \omega_{c1} \) 및 \( \omega_{c1} \)을 \( \omega_r \)의 용어로 다시 작성하기 위해 간단한 대수를 사용합니다.
\[ \omega_{c1} = - \dfrac{R}{2 L} + \sqrt{ \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 + \omega_r^2} \quad \quad (V) \]
\[ \omega_{c2} = \dfrac{R}{2 L} + \sqrt{ \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 + \omega_r^2} \quad \quad (VI) \]

참고
\[ \omega_{c1} \times \omega_{c2} = \omega_r^2 \quad \quad (VII) \]

공진 회로의 대역폭은 다음과 같이 정의됩니다: \( \Delta \omega = \omega_{c2} - \omega_{c1} \)

품질 계수 \( Q \)는 다음과 같이 정의됩니다.
\( Q = \dfrac{\omega_r}{\Delta \omega} \)
대입해보세요.
\( Q = \dfrac {\omega_r} { \left(\dfrac{R}{2 L} + \sqrt{ \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 + \omega_r^2} - \left(-\dfrac{R}{2 L} + \sqrt{ \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 + \omega_r^2} \right) \right)} \)
간단히하면
\[ Q = \omega_r \dfrac{L}{R} \quad \quad (VIII) \]

D - 자세한 해결 방법을 포함한 더 많은 예제

예제 3
시리즈 RLC 공진 회로는 하한 차단 주파수로 \( f_{c_1} = 650 \) 헤르츠와 상한 차단 주파수로 \( f_{c_2} = 950 \) 헤르츠를 갖도록 설계됩니다.
a) 저항 \( R \)이 \( 30 \Omega \)인 경우 캐패시터 \( C \)의 용량과 인덕터 \( L \)의 인덕턴스를 계산하십시오.
b) 회로의 품질 계수는 얼마입니까?

예제 3의 해결
a)
각주 주파수를 계산합니다.
\( \omega_{c_1} = 2 \pi f_{c_1} = 1300 \pi \) rad/s
\( \omega_{c_2} = 2 \pi f_{c_1} = 1900 \pi \) rad/s
위에서 개발한 식 (VII)을 사용하여 회로의 공진 주파수 \( \omega_{r} \)를 계산합니다.
\( \omega_{r} = \sqrt {\omega_{c_1} \times \omega_{c_2}} = \sqrt {1300 \pi \times 1900 \pi } = 100 \sqrt{247} \pi = 4937.400 \) rad/s
\( \omega_{c_2} - \omega_{c_1} = \dfrac{R}{L} \)
따라서
\( L = \dfrac{R } {\omega_{c_2} - \omega_{c_1}} = \dfrac{30} {1900 \pi - 1300 \pi } = 0.01591 \) H
\( \omega_{r} = \dfrac{1}{\sqrt {L C} } \)
따라서
\( C = \dfrac{1}{\omega_{r}^2 L} = \dfrac{1}{(100 \sqrt{247} \pi)^2 \times 0.01591} = 2.5783 \times 10^{-6} \) F

b)
품질 계수는 다음과 같이 주어집니다.
\( Q = \dfrac{\omega_{r}}{\omega_{c_2} - \omega_{c_1}} = \dfrac{100 \sqrt{247} \pi}{1900 \pi - 1300 \pi } = 2.62\)

더 많은 참고자료 및 링크

• 공진 시리즈 RLC 회로 계산기
• RLC 시리즈 회로
• 시리즈 RLC 회로 임피던스 계산기
• 병렬 RLC 회로 임피던스 계산기
• RLC 시리즈 전류 그래프 계산기