교류 회로의 평균 전력 계산을 예제와 함께 상세한 해결책과 함께 설명합니다. 문제와 해결책도 포함되어 있습니다.
아래 회로를 고려하십시오.
임피던스 \( Z \) 가 극형태로 \( Z = |Z| \; e^{j\theta} \) 로 쓰여 있습니다.
\( v_i (t) = V_0 \; \cos(\omega t) \)라고 합시다.
따라서
\( i (t) = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \cos (\omega t - \theta) \)
임피던스 \( Z \)에 공급되는 순간 전력 \( P(t) \)은 다음과 같습니다.
\[ P(t) = i(t) \; v(t) = \dfrac{V_0^2}{|Z|} \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \]
평균 전력은 다음과 같이 정의됩니다.
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{1}{T} \int_0^T P(t) dt \]
위의 식에서 \( P(t) \)를 위에서 찾은 식으로 대체하고 평균 전력을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \; dt \)
확장하면: \( \quad \cos ( \omega t - \theta) = \cos \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \sin \theta \)이고 \( P_a \)에 대체합니다.
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; (\cos^2 \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta ) \; dt \)
왼쪽의 하나의 적분과 오른쪽의 두 번째 적분으로 적분을 나누어 작성합니다. 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; cos^2 \omega t \; \cos \theta \; dt + \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt \)
\( \sin(\omega t) \cos(\omega t) = \dfrac{1}{2} \sin(2 \omega t) \)를 사용하여 오른쪽의 적분을 다시 작성합니다.
\( \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta) \int_0^T \sin (2 \omega t ) \; dt \)
\( \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos (2 \omega t ) \right]_0^T \)
\( \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos 2 \omega T - \cos 0 \right] \)
\( \quad \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos (4 \pi) - \cos 0 \right] \)
\( \quad \quad \quad \quad = 0 \)
\( \cos
^2 \omega t = \dfrac{1}{2} (\cos(2 \omega t )+1) \)를 적분의 왼쪽 적분에 사용하고 다음과 같이 작성합니다.
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; (\cos(2 \omega t )+1) \; dt \)
적분을 두 개의 합으로 작성합니다.
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \cos \theta \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt + \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
위와 비슷한 방식으로 위의 오른쪽 적분이 0임을 보여줍니다.
따라서 \( P_a \)는 다음과 같습니다.
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
\( \displaystyle \quad = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \left[t\right]_0^T \)
\[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
위의 식에서 \( \cos \theta \)는 전력 계수라고 합니다.
일반적으로 \( |Z| \) 및 \( \cos \theta \)는 주파수에 따라 다르므로 평균 전력은 전압 (또는 전류) 소스의 주파수에 따라 달라집니다.
위에서 설명한대로 계산은 매우 어려울 수 있으므로 더 많은 실습과 조사를 위해 시리즈 RLC 회로의 전력 계산기가 제공됩니다.
예제 1
아래의 시리즈 RLC 회로에서 소스 전압은 \( v_i = 5 \cos (\omega t) \)이고, 커패시터의 용량은 \( C = 100 \; \mu F \), 인덕터의 인덕턴스는 \( L = 100 \; mH\), 저항의 저항은 \( R = 1000 \; \Omega \)이고, 주파수는 \( f = 2000 \; Hertz \)입니다.
a) 시리즈 RLC 회로의 총 임피던스 \( Z \)를 찾아 극형태로 표현하십시오.
b) 총 임피던스 \( Z \)에 전달되는 평균 전력 \( P_a \)를 찾으십시오.
예제 1의 해결책
a)
시리즈 RLC 회로의 경우 \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} ) \)입니다.
\( \omega = 2 \pi f = 4000 \pi \) rad/s
\( R \), \( L \), \( C \) 및 \( \omega \)를 각각 숫자 값으로 대체하여
\( Z = 1000 + j\left(4000 \pi \times 100 \times 10^{-3} - \dfrac{1}{4000 \pi \times 100 \times 10^{-6}} \right) \)를 얻습니다.
\( Z = 1000 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi} \right) j \)
임피던스 \( Z \)는 표준 복소수 형태 \( Z = a + j b \)로 작성됩니다.
극형태에서 동일한 임피던스는 \( Z = |Z| e^{j\theta} \)로 쓰여집니다.
여기서 \( \theta = \arctan \dfrac{b}{a} \) 및 \( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \)입니다.
따라서
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \)
\( |Z| = \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} \)
b)
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \)
\( V_0 \), \( |Z| \) 및 \( \theta \)를 각각 숫자 값으로 대체하면
\( \displaystyle P_a = \dfrac{5^2}{2 \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} } \cos \left( \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \right) \)
\( \quad \approx 0.00485 \; \text{와트} \)
예제 2
예제 1의 시리즈 RLC 회로와 같은 시리즈 RLC 회로에서 주파수 \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)에 대해 전달되는 평균 전력이 최대임을 보이고 이 최대 전력에 대한 공식을 찾으십시오.
예제 2의 해결책
a) 시리즈 RLC 회로의 경우, 총 임피던스는 다음과 같습니다: \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
각속도 \( \omega \)는 주파수 \( f \)와 관계가 있습니다. \( \omega = 2 \pi f = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
\( Z \)에 \( \omega \) 대신 \( \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)를 대입하여 \( Z \)를 얻습니다.
\( Z = R + j (\dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{1}{\dfrac{C}{\sqrt{LC}}}) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{\sqrt{LC}}{C} ) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{\sqrt L}{\sqrt C} - \dfrac{\sqrt{L}}{\sqrt C} ) \)
이는 간단해집니다.
\( Z = R \)
주파수 \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)의 경우 임피던스 \( Z \)는 실수이므로
\( |Z| = R \)입니다.
그리고 \( Z \)의 인자 \( \theta \)는 0입니다. 따라서 \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \)이 최대값입니다.
주파수 \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)에서 전력 계수 \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \)이 최대이며 \( |Z| \)가 최소이므로 최대값을 갖는 평균 전력은 다음과 같습니다.
\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \)
예제 3
예제 1의 시리즈 RLC 회로와 같은 시리즈 RLC 회로에서 소스 전압은 \( v_i = 2 \cos ( \omega t) \)이고, 커패시터의 용량은 \( C = 470 \mu \)F, 인덕터의 인덕턴스는 \( L = 50 \)mH이고 저항의 저항은 \( R = 100 \; \Omega \)입니다.
a) 위의 공식으로 주어진 평균 전력 \( P_a \)를 표현하고 각속도 \( \omega \)의 함수로 \( P_a \)의 그래프를 작성하고 \( P_a \)의 최대값을 찾으십시오.
b) \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) (또는 주파수 \( f_r = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \))에서 전력이 최대임을 확인하고 이 최대 전력은 \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \)로 설명되는지 확인하십시오.
예제 3의 해결책
시리즈 RLC 회로의 경우 \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
모듈러스: \( |Z| = \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
인자: \( \theta = \arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \)
평균 전력 \( P_a \)은 다음과 같습니다.
\[ P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
\( V_0 \) 및 \( |Z| \)를 그 표현식으로 대체하여 \( P_a \)를 \( \omega \)의 함수로 얻습니다.
\( P_a (\omega ) = \dfrac{V_0^2}{2 \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \right) \)
\( R \), \( L \) 및 \( C \)를 그 값으로 대체하여 \( P_a \)를 \( \omega \)의 함수로 얻습니다.
\( P_a (\omega ) = \dfrac{2}{ \sqrt { 100^2 + \left( 50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{470 \times 10^{-6}\; \omega } \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{ 470 \times 10^{-6} \; \omega }} {100} \right) \right) \)
\( P_a (\omega ) \)의 \( \omega \)에 대한 그래프는 아래에 표시됩니다.
무료 geogebra 그래프 계산기 가 사용되어 그래프에서 최대값을 찾고 표시합니다.
b)
예제 2에서 설명한 것처럼, 평균 전력은 다음에서 최대가 됩니다.
\( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{ \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 470 \times 10^{-6} }} \approx 206.28\) rad/s
최대 전력은 다음과 같습니다: \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} = \dfrac{2^2}{2 \times 100} = 0.02\) Watts
계산된 \( \omega_r \) 및 \( P_a max \) 값은 위의 그래프에서 찾은 값과 동일합니다.