저항기, 캐패시터 및 인덕터의 병렬에 해당하는 동등한 임피던스를 계산하는 계산기입니다. 계산기는 복소수를 사용하며 임피던스의 절대값과 위상을 계산합니다. 계산된 값은 지수 및 극좌표 형태로 변환할 수 있습니다.
\( \) \( \) \( \)
병렬 RLC 계산기에서 사용되는 공식을 먼저 제시하며 이러한 공식의 증명은 페이지 하단에 제시됩니다.
\( Z_R = R \) , \( Z_C = \dfrac{1}{j \omega C} \) , \( Z_L = j \omega L\)로 정의합시다.
다음과 같은 병렬 회로 임피던스의 규칙을 적용하여 동등한 임피던스 \( Z \)를 찾습니다.
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_R} + \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L} \)
\( = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega C}} + \dfrac{1}{j \omega L} \)
\( X_L = \omega L \) 이고 \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)로 쓰고 위 식을 다시 씁니다.
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{X_C}{j}} + \dfrac{1}{j X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{j}{{X_C}} - j \dfrac{1}{ X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + j (\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} ) \)
위 복소수의 절대값 \( \rho \)는 다음과 같습니다.
\( \rho = \sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2} \)
위상 \( \alpha \)는 다음과 같습니다.
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L}}{\dfrac{1}{R}} \right) \)
다시 정리하면
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{R}{X_C}-\dfrac{R}{X_L} \right) \)
이제 복소수의 지수 형태를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \dfrac{1}{Z} = \rho e^{j\alpha} \)
위의 역수를 취하여 동등한 임피던스 \( Z \)를 복소수의 지수 형태로 쓸 수 있습니다.
\( Z = \dfrac{1}{\rho} e^{-j \alpha} \)
\( Z \)를 \( Z = r e^{j\theta} \)로 쓰면 다음과 같습니다.
\( Z \)의 절대값은 다음과 같습니다.
\( r = 1/\rho = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
\( Z \)의 위상은 다음과 같습니다.
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( f
= 1.5 \; kHz \) , \( C = 15 \; \mu F \) , \( L = 20 \; mH \) 및 \( R = 50 \; \Omega \)
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 1.5 \times 10^3 \times 20 10^{-3 } = 188.50 \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{ 2\pi f C} = \dfrac{1}{ 2\pi 1.5 \times 10^3 \times 15 10^{-6}} = 7.07\)
절대값: \( \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ 188.50} \right)^2}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{50}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{7.07}} - \dfrac{1}{ 188.50} \right)^2}} \)
\( = 7.27 \)
위상: \( \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( = \arctan \left(\dfrac{50}{188.50}-\dfrac{50}{7.07} \right) \)
\( = - 81.64^{\circ} \)
주어진 값을 계산기에 입력하여 결과를 확인할 수 있습니다.