直列RLC回路のステップ電圧に対する応答

目次

ラプラス変換を使用して、RLC回路がステップ電圧に対する応答を調べます。電流とすべての電圧の公式が導かれ、数値例と詳細な解答が示されています。
直列RLC回路のステップ応答をオンライン計算機を使って手動での計算を確認できます。

ステップ電圧に対する直列RLC回路の電流と電圧の公式

問題
電源 \( v_i = V_0 \; u(t) \) に対する、コンデンサ \( C \)、インダクタ \( L \)、抵抗 \( R \) にかかる電流 \( i \) と電圧を時間の関数として求めなさい。ここで、\( V_0\) は定数であり、\( u(t) \) は単位ステップ関数です。初期電流は \( t = 0 \) の時点でゼロとします。

上記問題の解答
キルヒホッフの法則を使用して、次のように書きます。
\( v_i - v_R - v_L - v_C = 0 \)       (I)
オームの法則を使用して次のように書きます。
\( v_R = R \; i \)
コンデンサの電圧と充電電流の関係
\( \displaystyle v_C = \dfrac{1}{C} \; \int i dt \)
インダクタの電圧と充電電流の関係
\( \displaystyle v_L = L \; \dfrac{d i}{dt} \)
式 (I) における \( v_R \), \( v_L \), \( v_C \) をそれぞれの式で置き換えます。
\( \displaystyle v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt = 0 \)
上記の方程式の両辺にラプラス変換を適用します。
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
ラプラス変換の線形性と \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) を利用して、上記の式を次のように書き換えます。
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i \} - R \mathscr{L}\{ i \} - L \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} - \dfrac{1}{C} \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = 0 \)
\( v_i(t) = V_0 \; u(t) \) の場合、\( V_0 \) は定数で、\( u(t) \) は単位ステップ関数なので、\( \mathscr{L}\{ v_i \} = \dfrac{V_0}{s} \) となります。
\( \mathscr{L}\{ i\} = I(s) \) とします。
微分と積分のラプラス変換の公式と性質を使用して次のように書きます。
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} = s I(s) - i(0) = s I(s) \) 初期電流がゼロであるため、\( i(0) = 0 \)
\( \displaystyle \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = \dfrac{I(s)}{s} \)
これを代入して次の方程式が得られます。
\( \dfrac{V_0}{s} - R \; I(s) - L \; s \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C s} = 0 \)
注：これにより、初期の微分方程式が時間領域 \( t \) から \( s \) 領域に変換されました。
すべての項に \( s \) を掛けて簡略化します。
\( V_0 - R \; s \; I(s) - L \; s^2 \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C} = 0 \)
\( I(s) \) を因数として括り出し、次のように書き換えます。
\( I(s) (L \; s^2 + R \; s +\dfrac{1}{C}) = V_0 \)
これを \( I(s) \) について解き、次のように書きます。
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L} s + \dfrac{1}{L C} } \)
分母を平方完成します。
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \dfrac{R}{2 L} \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} \) とします。
そして上記の式を次のように書き換えます。
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)

ここで、次の 3 つのケースを考えます。式 \( \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) の符号によって回路の特性が異なります。
ケース1: \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : 回路はアンダーダンピングです。

させて \( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \) とし、\( I(s) \) を次のように書きます。
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\omega L} \times \dfrac{\omega}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \omega^2 } \)
ラプラス変換の公式と性質を使用して、\( I(s) \) の逆ラプラス変換を求めます。
\( t \ge 0 \) の場合、入力電圧 \( v_i (t) = V_0 \) とすると次の式が得られます。
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{\omega L} \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} - V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)

数値応用 - 例1 - アンダーダンピング回路
\( V_0 = 1 \; V \), \( R = 10 \; \Omega \), \( L = 0.4 \; H \), \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 156.25 \)
したがって、\( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) です。この回路はアンダーダンピングです。
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2 \times 0.4} = 12.50 \)
\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{10}{2 \times 0.4}\right)^2} = 223.26 \)
\( i(t) = \dfrac{1}{223.26 \times 0.4} \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
簡略化します。
\( i(t) = 0.011 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
電圧は次のように計算できます。
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 0.11198 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
\( v_L(t) = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \left\{ \cos (223.26t) - 0.0559875 \sin (223.26t ) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (223.26t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - \left\{ \cos (223.26t) + 0.055988 \sin (223.26t) \right\} e^{-12.5t} \)
手動計算を確認するには、直列RLC回路のステップ応答用の計算機を使用できます。

ケース2: \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : 回路はオーバーダンピングです。

\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) とし、\( I(s) \) を次のように書きます。
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\beta L} \times \dfrac{\beta}{ \left(s + \alpha \right)^2 - \beta^2 } \)
ラプラス変換の公式と性質を使用して、\( I(s) \) の逆ラプラス変換を求めます。
\( t \ge 0 \) の場合、入力電圧 \( v_i (t) = V_0 \) とすると次の式が得られます。
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{(\beta - \alpha) t} - e^{-(\beta + \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{(\beta - \alpha) t} - e^{-(\beta + \alpha) t} \right\} \)

\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} - \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)

数値応用 - 例2 - オーバーダンピング回路
\( V_0 = 1 \; V \), \( R = 200 \; \Omega \), \( L = 0.4 \; H \), \( C = 50 \;\mu F \) とします。
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 62500 \)
したがって、\( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) です。この回路はオーバーダンピングです。
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{200}{2 \times 0.4} = 250 \)
\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L} - \dfrac{1}{L C}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{200}{2 \times 0.4}\right)^2} = 111.80339 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 0.01118 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 2.23613 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)

\( v_L (t) = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = -0.617754 e^{ -138.2 t} + 1.617246 e^{ -361.8 t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 1 - 1.61806 e^{ -138.2 t} + 0.61806 e^{-361.8 t} \)
手動計算を確認するには、直列RLC回路のステップ応答用の計算機を使用できます。

ケース3: \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : 回路は臨界減衰です。

\( I(s) \) を次のように簡略化します。
\( I(s) = \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2} \dfrac{V_0}{L} \)
ラプラス変換の公式と性質を使用して、\( I(s) \) の逆ラプラス変換を求めます。
\( t \ge 0 \) の場合、入力電圧 \( v_i (t) = V_0 \) とすると次の式が得られます。
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left( 1 - \alpha t \right) e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} - V_0 e^{-\alpha t} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)

数値応用 - 例3 - 臨界減衰回路
\( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 100 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) そして \( C = 160 \;\mu F \) とします。
\( \dfrac{1}{L C} = 15625\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 15625 \)
したがって、\( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) です。この回路は臨界減衰です。
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{100}{2 \times 0.4} = 125 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( i(t) = 2.5 \; t \; e^{- 125 t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\(\quad \quad = 250 e^{ - 125 t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( 1 - \alpha t ) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = (1 - 125t) e^{ - 125 t} \)
\(v_C (t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - (1 + 125t) e^{ - 125 t} \)
手動計算を確認するには、直列RLC回路のステップ応答用の計算機を使用できます。

追加の参考資料とリンク