ディラックデルタ関数 \( \delta(t) \) とヘヴィサイドユニットステップ関数 \( u(t) \) を例と詳細な解答と共に紹介します。これらの2つの関数は、さまざまな工学システムの数学的モデルに使用されます。ユニットステップ電圧に対する電気回路の応答をモデリングする例も含まれています。
\( \)\( \)\( \)
ヘヴィサイドステップ関数は、\( u(t) \) として表され（ヘヴィサイド関数とも呼ばれ、\( H(t) \) とも書かれます）、以下のように定義されます。
\(
u(t) =
\begin{cases}
0 & \text{for } t \lt 0 \\
1 & \text{for } t \ge 0 \\
\end{cases}
\)
したがって、次のように書けます。
\( u(t - t_0) =
\begin{cases}
0, & \text{for } t \lt t_0 \\
1, & \text{for } t \ge t_0 \\
\end{cases}
\)
ステップ関数の主な用途の1つは、スイッチのモデル化です。
たとえば、時刻 \( t = t_0 \) に回路に電圧 \( v(t) \) を印加する必要がある場合、時間に対する電圧は \( v(t) u(t-t_0) \) で表されます。
\( v(t) u(t-t_0)
\begin{cases} v(t) &\mbox{if } t \ge t_0 \\
0 & \mbox{if } t \lt t_0 \end{cases}
\)
例として、\( t^2 u(t-1) \) のグラフが下に示されています。
例1
次の積分を評価しなさい：
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt \) b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt \) d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt \) e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt \)
例1の解答
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \) 特性1を適用して \( -\infty \lt 0 \lt \infty \)
b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \) 特性1を適用して \( -\infty \lt 4 \lt \infty \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\) 特性1を適用して \( 0^- \lt 0 \lt \infty \)
d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \) 特性2を適用して \( - 3 \lt 0 \) または \( -3 \) が積分区間外。
e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \) 特性2を適用して \( 0 \lt 0^+ \) または \( 0 \) が積分区間外。
例2
次の導関数を求めなさい：
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \) b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)
例2の解答
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)
例3
ステップ関数 \( u(t) \) を使用して、以下のグラフに対する方程式とその導関数を書きなさい。
a)
b)
c)
d)
例3の解答
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \)
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \)
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \)
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\)
