カスケード回路の伝達関数

目次

2つのカスケード回路の伝達関数の一般公式が提示され、その応用が例と解答を通して説明されています。
問題とその解答も含まれています。問題および解答も含まれています。

A - 2つのカスケード回路の伝達関数の公式

以下に示す2つのカスケード回路を考え、4つの \( Z_1, Z_2, Z_3, Z_4 \) の関数として伝達関数 \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) を求めます。

B - 2つのカスケード回路の伝達関数公式の応用

上記の公式が2つのカスケード回路として識別できる任意の回路でどのように使用されるかを示します。
例1
次の回路の周波数領域における伝達関数を求めなさい。



例1の解答
与えられた回路と上記の一般的な回路を比較して、次のように書けます。
\( \quad Z_1 = R_1 \)、\( Z_2 = R_2 \)、\( Z_3 = 0 \)、\( Z_4 = L s \)
ここで、\( s = j \omega \)であり、\( \omega \)は角周波数です。
次に、一般公式においてインピーダンス \( Z_1, Z_2, Z_3, Z_4 \) を代入し、次のように記述します。
\( \quad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
\( s = j \omega \) を代入して、次のように書きます。
\( \quad H(\omega) = \dfrac{j \; R_2 \; L \; \omega \; s }{j \; (R_1 + R_2) \; \omega \; L \; s + R_1 \; R_2} \)

例2
次の回路の周波数領域における伝達関数を求めなさい。



例2の解答
与えられた回路と上記の一般的な回路を比較して、次のように書けます。
\( \quad Z_1 = R_1 \)、\( Z_2 = R_2 \)、\( Z_3 = \dfrac{1}{C s} \)、\( Z_4 = L s \)
ここで、\( s = j \omega \)であり、\( \omega \)は角周波数です。
次に、一般公式においてインピーダンス \( Z_1, Z_2, Z_3, Z_4 \) を代入し、次のように記述します。
\( \quad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) (\; L\;s + \dfrac{1}{C s}) + R_1 \; R_2} \)
分子と分母に \( C s \) を掛けて簡略化します。
\( \quad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; C \; s^2 }{(R_1 + R_2) C \; L\;s^2 + R_1 \; R_2 \; C s + R_1 + R_2} \)
\( s = j \omega \) を代入して、次のように書きます。
\( \quad H(\omega) = \dfrac{- R_2 \; L \; C \; \omega^2 }{ - (R_1 + R_2) C \; L\;\omega^2 + j \; R_1 \; R_2 \; C \omega + R_1 + R_2} \)

例3
次の回路の周波数領域における伝達関数を求め、その大きさと位相（または引数）をグラフ化しなさい。



例3の解答


上記の公式 (I) を使用します。
\( \quad H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \)

次に、与えられた回路における数値を用いてインピーダンス \( Z_1, Z_2, Z_3, Z_4 \) を計算します。
\( \quad Z_1 = 100 \)、 \( \quad Z_2 = 0.1 s \)、\( Z_3 = 200 \)、\( Z_4 = 0.3 s \)
次に代入して次を得ます。
\( \quad H(s) = \dfrac{0.03 \; s^2}{(100 + 0.1 \; s)(0.3 s + 200 ) + 10 \; s} \)
簡略化します。
\( \quad H(s) = \dfrac{3 \; s^2}{3 \; s^2 + 6000 \; s + 2000000} \)
次に \( s \) を \( j\; \omega \) で置き換えます。
\( \quad H(\omega) = \dfrac{ - \; 3 \; \omega^2}{- 3 \omega^2 + 2000000+ j \; 6000 \; \omega } \)

問題と解答

以下の各回路について、パートAおよびBにおける周波数領域での伝達関数を求めなさい。
パートA

パートB

上記問題の解答

パートA
\( \quad s = j \; \omega \)、\( Z_1 = R_1 \)、\( Z_2 = R_2 \)、\( Z_3 = R_3 \)、\( Z_4 = C // L = \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} \)
上記の公式(I)に \( Z_1, Z_2, Z_3, Z_4 \) の式を代入します。
\( \quad H(s) = \dfrac{ \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} R_2 }{(R_1 + R_2)\left( \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} + R_3 \right) + R_1 R_2} \)

分子と分母に \( (C L s^2 + 1) \) を掛けて簡略化します。

\( \quad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{(R_1 + R_2)\left( L s + R_3 (C L s^2 + 1) \right) + R_1 R_2 (C L s^2 + 1)} \)
分母の式を展開して整理します。
\( \quad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{ CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2)s^2 + L(R_1+R_2)s + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
次に \( s \) を \( j \omega \) で置き換えます。
\( \quad H(\omega) = \dfrac{ j \; LR_2 \; \omega }{ -CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2) \; \omega^2 + j \; L(R_1+R_2) \; \omega + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)

パートB
次を仮定します。 \( \quad s = j \omega \)、\( Z_1 = R_1 \)、\( Z_2 = R_2 // L = \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \)、\( Z_3 = R_3 \)、\( Z_4 = C // R_4 = \dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \)
公式(I)に \( Z_1, Z_2, Z_3, Z_4 \) の式を代入します。

\( \quad H(s) = \dfrac{\left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \right) \left(\dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right)}{\left(R_1 + \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} + R_3 \right) + R_1 \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2}} \)

分子と分母に \( (1+R_4 C s) (L s + R_2) \) を掛けて簡略化します。

\( \quad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{(R_1 (L s + R_2) + R_2 Ls)(R_4 + R_3 (1+R_4 C s)) + R_1 R_2 Ls (1+R_4 C s)} \)
分母の式を展開します。
\( \quad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{LsR_2R_1+LR_4Cs^2R_2R_1+LsR_1R_3+LR_4Cs^2R_1R_3+LR_4sR_1+R_2R_1R_3+R_4CsR_2R_1R_3+R_4R_2R_1+LsR_2R_3+LR_4Cs^2R_2R_3+LR_4sR_2} \)
\( s^2 \) を含む項と \( s \) を含む項を整理して、次のように因数分解します。
\( \quad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{(LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 )s^2 + (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2)s +R_2R_1R_3 +R_4R_2R_1} \)
\( s = j \omega \) を代入し、次のように書きます。
\( \quad H(\omega) = \dfrac{j \; R_4R_2L \; \omega}{- (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 ) \; \omega^2 + j \; (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2) \; \omega +R_2R_1 (R_3 +R_4) } \)

その他の参照およびリンク

• AC回路での複素数の使用
• シリーズRLC回路における電流と電圧の計算
• RLC回路の電流と電圧の計算
• 直列および並列インピーダンスの計算
• AC回路における等価インピーダンスの計算
• AC回路におけるインピーダンスの公式
• 複素数の極形式