周波数領域における伝達関数

目次

周波数領域における伝達関数は、AC回路において例と解答と共に紹介されています。問題とその解答も含まれています。 問題 およびその 解答 も含まれています。
AC回路での複素数の使用と RLC回路における電流・電圧の計算の考え方が、周波数領域での伝達関数の計算に使われています。
通常、インピーダンスは\( j \omega \)を用いて表現されますが、より複雑なインピーダンスの式の場合、\( s = j \omega \)を使って簡単化する方が簡単かもしれません。
カスケード回路の伝達関数に関する追加情報も含まれています。

A - キャパシタとインダクタのインピーダンスの周波数特性

キャパシタとインダクタは、異なる周波数に対して異なる挙動を示します。
特定の周波数\( \omega \)におけるキャパシタのキャパシタンス\( C \)のインピーダンス\( X_C\)は次の式で与えられます。 \[ Z_C = \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \] インダクタのインダクタンス\( L \)のインピーダンス\( X_L\)は次の式で与えられます。 \[ Z_L = j \; \omega L \] \( X_C \)と\( X_L \)は複素形式のインピーダンスであり、それぞれの大きさは次の式で表されます。 \[ | Z_C | = \dfrac{1}{\omega \; C} \] \[ | Z_L | = \omega L \] \( C = 100 \mu \; F \)、\( L = 100 \; m H \)の場合、\( | Z_C | \)と\( | Z_L | \)をグラフにします。
\( | Z_C | \)と\( | Z_L | \)の角周波数\( \omega \)に対するグラフは以下の通りです。\( |Z_C| \)のグラフは双曲線であり、\( |Z_L| \)のグラフは直線です。



重要な特性としては：
1) 周波数が小さく、ほぼゼロに近いとき、キャパシタのインピーダンス\( |Z_C| \)は非常に大きく、インダクタのインピーダンス\( |Z_L| \)は非常に小さい（ほぼゼロ）となります。
2) 周波数が大きいと、キャパシタのインピーダンス\( |Z_C| \)は非常に小さく（ほぼゼロ）、インダクタのインピーダンス\( |Z_L| \)は大きくなります。
3) 一般的に、抵抗、キャパシタ、インダクタの組み合わせを含むインピーダンスは周波数の関数であり、したがって電圧や電流も周波数の関数となります。
また、インピーダンスが大きい場合、回路が開放された状態として振る舞い、インピーダンスが小さい場合、回路が短絡された状態として振る舞うと仮定できます。
これらの特性は、異なるAC回路の性質を理解するのに役立ちます。
\( s = j \omega \)と書けば、キャパシタンス\( C \)のキャパシタのインピーダンスは次のように表されます。
\[ Z_C = \; \dfrac{1}{ s \; C} \] 同様に、インダクタンス\( L \)のインダクタのインピーダンスは次のように表されます。 \[ Z_L = s L \]

複素数の極形式の復習

複素数において、虚数単位は\( j = \sqrt {-1} \)または\( j^2 = - 1 \)と定義されます。
複素数 \( Z = a + j b \)の極形式は次のように表されます。
\( Z = |Z| \; \angle \; \theta \)
ここで、\( |Z| \)および\( \theta \)はそれぞれ\( Z \)の大きさと位相であり、次のように定義されます。
\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \)、\( \theta = \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) \)範囲は\( -\pi \lt \theta \le \pi \)です。
電子回路において、複素数の極形式を使用する主な利点の1つは、これらの数値の除算や乗算が簡単になることです。
次のように極形式で表された複素数\( Z_1 \)と\( Z_2 \)を考えます。
\( Z_1 = |Z_1| \; \angle \; \theta_1 \)、\( Z_2 = |Z_2| \; \angle \; \theta_2 \)
積
\( Z_1 \)と\( Z_2 \)の積は次のように与えられます。
\( Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1| \cdot |Z_2| \; \angle \; \theta_1 + \theta_2 \)
除算
\( Z_1 \)と\( Z_2 \)の除算は次のように与えられます。
\( \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \; \angle \; \theta_1 - \theta_2 \)
べき乗
\( Z_1^n \)は次のように与えられます。
\( Z_1^n = |Z_1|^n \angle \; n \theta_1 \)

B-周波数領域における電圧伝達関数

次に示す簡単な電圧分圧回路を考え、電圧とインピーダンスを使用して出力電圧を次のように表します。

例1
以下の回路の周波数領域における伝達関数を求め、その大きさと位相をグラフ化しなさい。



例1の解答
AC回路におけるインピーダンスの公式を使用して、次のRC回路において出力電圧（複素形式）は次のように表されます。
\( V_{out} = \dfrac{\; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} }{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + R } V_{in}\)
上記の式を簡略化し、周波数領域における電圧伝達関数\( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)を次のように書きます。

\( H(\omega) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \)

\( H(\omega) \)は、出力と入力の関係を示し、周波数\( \omega \)に依存するため、周波数領域における伝達関数です。 周波数領域における伝達関数は複素数であり、極形式で書くことができ、上記で復習しました。 \[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \] ここで、\( | H(\omega) | \)は\( H(\omega) \)の大きさ、\( \phi(\omega) \)は\( H(\omega) \)の位相です。
上記の式で得られた伝達関数\( H(\omega) = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \)の分母は極形式で次のように表されます。
\( 1 = 1 \angle 0 \)
分母は次のように書けます。
\( 1 + j \omega R \; C = \sqrt{1^2 + (\omega \; R \; C)^2} \; \angle \arctan(\omega \; R \; C) \)
したがって、複素数の極形式における除算の公式により、\( H(\omega) \)は次のように書けます。
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + (\omega \; R \; C)^2}}} \; \angle - \arctan(\omega \; R \; C) \)
上記で与えられたキャパシタンスと抵抗の数値を使用し、\( R C = 100 \times 200 \times 10^{-6} = 0.02\)を評価します。
したがって、
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \; \angle - \arctan(0.02 \; \omega) \)

以下のグラフは、式\( 20 \; \log_{10} \left(\dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \right) \)による伝達関数の大きさを角周波数\( \omega \)に対して示したものです。



以下のグラフは、式\( - \arctan(0.02 \; \omega) \)（度に変換された）による伝達関数の位相を角周波数\( \omega \)に対して示したものです。

例2
以下の回路の周波数領域における伝達関数を求め、その大きさと位相をグラフ化しなさい。



例2の解答
AC回路におけるインピーダンスの公式を使用して、次のRLC回路における出力電圧（複素形式）は次のように表されます。
\( V_{out} = \dfrac{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega}{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega + R } V_{in}\)

分子と分母を\( j \; \omega \; C \)で掛け合わせて、周波数領域における電圧伝達関数\( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)を次のように簡略化します。

\( H(\omega) = \dfrac{1 - L \; C \; \omega^2 }{1 - L \; C \; \omega^2 + j \; R \; C \; \omega}\)

周波数領域における伝達関数は次のように極形式で表すことができます。 \[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \] 伝達関数\( H(\omega) \)の大きさ\( | H(\omega) | \)は次のように与えられます。

\( | H(\omega) | = \dfrac{|1 - L \; C \; \omega^2 |}{\sqrt{ (1 - L \; C \; \omega^2 )^2 + (R \; C \; \omega)^2 }}\)

伝達関数\( H(\omega) \)の位相\( \phi(\omega) \)は次のように与えられます。

\( \phi(\omega) = - \arctan \left(\dfrac{R \; C \; \omega}{1 - L \; C \; \omega^2} \right) \)
以下のグラフは、式\( 20 \log_{10} | H(\omega) | \)による伝達関数の大きさおよび位相\( \phi(\omega) \)を角周波数\( \omega \)に対して示したものです。

例3
以下の回路の周波数領域における伝達関数を求め、その大きさと位相をグラフ化しなさい。



例3の解答
計算を容易にするため、次のようにします。 \[ s = j \omega \] 次にキャパシタ\( C_1 \)および\( C_2 \)のインピーダンスを次のように表します。
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
および
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)

キルヒホッフの電流および電圧の法則とオームの法則を使用して、次の方程式を記述します。
\( I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) 上部ノードにおけるキルヒホッフの電流則
\( V_{in} = R_1 I + Z_{C_1} I_1 \qquad (II)\) 左側の閉ループにおけるキルヒホッフの電圧則
\( Z_{C_1} I_1 = (Z_{C_2} + R_2) I_2 \qquad (III)\) 右側の閉ループにおけるキルヒホッフの電圧則
\( V_{out} = R_2 I_2 \qquad (IV)\) \( R_2 \)の電圧におけるオームの法則

式(II)および(IV)を使用して、次のように伝達関数\( H(\omega) \)を書きます。
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 I + Z_{C_1} I_1} \)
式(I)を使用して\( H(\omega) \)内の\( I \)を\( I_1 + I_2 \)に置き換えます。
\( H(s) = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 (I_1 + I_2) + Z_{C_1} I_1} \)
分子と分母を\( I_2 \)で割り、簡略化して次のように書き直します。
\( H(s) = \dfrac{R_2}{R_1 \left( \dfrac{I_1}{I_2} + 1 \right) + Z_{C_1} \dfrac{I_1}{I_2}} \qquad (V) \)
式(III)を使用して次を得ます。
\( \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{Z_{C_2} + R_2}{Z_{C_1}} \)

次に式(V)において、\( \dfrac{I_1}{I_2} \)を\( \dfrac{Z_{C_2} + R_2}{Z_{C_1}} \)で置き換え、次のように再整理します。

\( H(s) = \dfrac{R_2 Z_{C_1}}{(R_1 + Z_{C_1})(R_2 + Z_{C_2}) + R_1 Z_{C_1}} \)

与えられた数値を使用してキャパシタンスを置き換えます。
\( Z_{C_1} = \dfrac{2 \cdot 10^4}{s} \)、\( Z_{C_2} = \dfrac{10^4}{s} \)
これを代入して次を得ます。
\( H(s) = \dfrac{250 \times \dfrac{2 \cdot 10^4}{s}}{\left(100 + \dfrac{2 \cdot 10^4}{s}\right) \left(250 + \dfrac{10^4}{s}\right) + 100 \times \dfrac{2 \cdot 10^4}{s}} \)
簡略化します。
\( H(s) = \dfrac{200 s}{s^2 + 320 s + 8000} \)
次に\( s \)を\( j \omega \)で置き換えます。
\( H(\omega) = \dfrac{j 200 \omega}{-\omega^2 + 8000 + j 320 \omega} \)

\( | H(\omega)| = \dfrac{200 \omega}{\sqrt{(8000 - \omega^2)^2 + (320 \omega)^2}} \)

\( \phi(\omega) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan \left(\dfrac{320 \omega}{-\omega^2 + 8000}\right) \)
次のグラフは、式\( 20 \log_{10} | H(\omega) | \)による伝達関数の大きさと位相\( \phi(\omega) \)を角周波数\( \omega \)に対して示したものです。

問題と解答

以下の各回路について、パートAおよびBにおける周波数領域での伝達関数を求めなさい。
パートA

パートB

パートC
カスケード回路の公式を適用して、以下の回路における周波数領域での伝達関数を求めなさい。

上記問題の解答

パートA
次を仮定します：\( s = j \omega \)、キャパシタ\( C \)のインピーダンスは\( Z_C = \dfrac{1}{C s} \)、インダクタ\( L \)のインピーダンスは\( Z_L = L s \)です。
キャパシタ\( Z_C \)とインダクタ\( Z_L \)の並列インピーダンス\( Z \)は次のように与えられます。
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L}\)
これを次のように書き直せます。
\( Z = \dfrac{Z_C Z_L}{Z_C + Z_L}\)
出力電圧\( V_{out} \)は次のように与えられます。
\( V_{out} = \dfrac{V_{in}}{Z + R} R\)
伝達関数は次のように与えられます。
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R}{Z + R}\)
次に\( C \)および\( L \)を用いて\( Z \)を計算します。
\( Z = \dfrac{\dfrac{1}{C s} L s}{\dfrac{1}{C s} + L s} = \dfrac{L s}{1 + L C s^2}\)

この式を伝達関数\( H(\omega) \)に代入して次を得ます。
\( H(s) = \dfrac{R(1 + L C s^2)}{L s + R(1 + L C s^2)} \)
次に\( s = j \omega \)を代入します。
\[ H(\omega) = \dfrac{R L C \omega^2 + R}{-R L C \omega^2 + R + j \omega L}\]

パートB
次を仮定します。 \[ s = j \omega \] 次にキャパシタ\( C_1 \)および\( C_2 \)のインピーダンスを次のように表します。
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \omega C_1} = \dfrac{1}{s C_1}\)
および
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \omega C_2} = \dfrac{1}{s C_2}\)
キルヒホッフの法則とオームの法則を使用して、例3と非常によく似た方法で4つの方程式を記述し、解いて伝達関数を求めます。
\( H(s) = \dfrac{R_1 C_1 s}{(R_1 C_1 s + 1)(R_2 C_2 s + 1) + R_1 C_2 s}\)
次に数値を代入して、伝達関数を周波数領域で得ます。
\( H(s) = \dfrac{5 s}{3 s^2 + 30 s + 25}\)

\[ H(\omega) = \dfrac{j 5 \omega}{-3 \omega^2 + 25 + j 30 \omega}\]

パートC


次に、カスケード回路の伝達関数を次のように表します：
\( H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2}{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3) + Z_1 Z_2}\)
回路の数値を用いて、各インピーダンス\( Z_1, Z_2, Z_3 \)および\( Z_4 \)を計算します。
次を得ます：
\( Z_1 = 100\)、\( Z_2 = 0.1 s\)、\( Z_3 = 200\)、\( Z_4 = 0.3 s\)
これを代入して次を得ます：
\( H(s) = \dfrac{0.03 s^2}{(100 + 0.1 s)(0.3 s + 200) + 10 s}\)
次に\( H(s) \)を簡略化して次を得ます：
\( H(s) = \dfrac{3 s^2}{3 s^2 + 6000 s + 2000000}\)
最後に\( s \)を\( j \omega \)で置き換えます：
\[ H(\omega) = \dfrac{-3 \omega^2}{-3 \omega^2 + 2000000 + j 6000 \omega}\]

その他の参照およびリンク

• AC回路での複素数の使用
• シリーズRLC回路における電流と電圧の計算
• RLC回路における電流・電圧の計算
• 直列および並列インピーダンスの計算
• AC回路における等価インピーダンスの計算
• AC回路におけるインピーダンスの公式
• 複素数の極形式