定数係数を持つ二階微分方程式を解くためのインタラクティブな計算機を紹介します。
定数係数 \( a \), \( b \), \( c \) を持つ線形二階同次微分方程式の一般的な形式は次の通りです [1] , [2] , [3] :
\[
a \frac{d^2y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + c y = 0
\]
この微分方程式を補助方程式（または特性方程式）を使用して解くために、まず次の形の解を仮定して補助方程式の根を見つけます。 \( y(t) = e^{rt} \)、したがって \( y'(t) = r e^{rt} \)、 \( y''(t) = r^2 e^{rt} \) となります。
\( y(t) \)、 \( y'(t)\)、および \( y''(t) \) を微分方程式に代入して次のように因数分解します。
\[
(a r^2 + b r + c) e^{rt} = 0
\]
ここで \( e^{rt} \) は 0 にならないため、次の微分方程式に対応する補助方程式が得られます：
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
1. 補助方程式を記述します:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
補助方程式の根の性質が解の挙動を決定します。
\( \Delta = b^2 - 4 \; a \; c \) とします。
1 - もし \( \Delta > 0 \) ならば、根は
\( r_1 = \dfrac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a} \) と \( r_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a}\)
これは実数で異なるため、一般解は次のように指数関数を含みます。
\[
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
\]
ここで、\( C_1 \) と \( C_2 \) は初期条件を用いて決定される定数です。
2 - もし \( \Delta = 0 \) ならば、根 \( r_1 \) と \( r_2 \) は実数で等しく、 \( -\dfrac{b}{2 \; a} \) となります。一般解は指数関数に \( t \) をかけた形になります。
\[
y(t) = ( C_1 + C_2 \; t ) e^{r_1 t}
\]
ここで、\( C_1 \) と \( C_2 \) は初期または境界条件により決定される定数です。
3 - もし \( \Delta \lt 0 \) ならば、根 \( r_1 \) と \( r_2 \) は次のような複素共役となります。
\( r_1 = \dfrac{- b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a} \) と \( r_2 = \dfrac{- b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a }\)
微分方程式の一般解は次のように正弦関数と余弦関数を含みます。
\[
y(t) = e^{\alpha \; t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta \; t) \right)
\]
ここで
\( \alpha = \dfrac{- b }{2 \;a} \) および \( \beta = \dfrac{ \sqrt{4 a c - b^2} }{2 \;a} \)
\( C_1 \) と \( C_2 \) は初期または境界条件により決定される定数です。
係数 \( a, b , c \) と初期条件 \( y(0) \) および \( y'(0) \) を実数として入力し、「解く」ボタンを押してください。
解答