二階および高次の偏微分
目次
最初の偏微分から、二階およびそれ以上の高次の偏微分の計算を例とその解答を含む詳細な計算ステップで紹介します。ある条件下で混合偏微分の等式を示すクレローの定理も例を通じて確認します。
二階および高次の偏微分は、多変数関数を一つまたは複数の変数について複数回微分することで得られます。
一階偏微分
関数 \(f(x, y)\) が与えられたとき、一階偏微分は次のようになります：
\(x\) に関して：\(\dfrac{\partial f}{\partial x}\)
\(y\) に関して：\(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)
二階偏微分
一階偏微分が得られたら、それをさらに微分して二階偏微分を計算します。二階偏微分は次のようになります：
\(x\) に関して二回：\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)
\(y\) に関して二回：\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
最初に \(x\)、次に \(y\) に関して：\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
最初に \(y\)、次に \(x\) に関して：\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)
高次偏微分
同様に、微分を続けることで、高次偏微分を得ることができます。例えば、三階偏微分は、まず \(x\) を二回、次に \(y\) を一回微分したものとして \(\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2}\) のように表されます。
例と解答
例1
次の関数 \(f(x, y) = x^2y + 3xy^2\) の一階および二階偏微分を計算せよ。
例1の詳細な解答
1. 一階偏微分
a. \(f\) を \(x\) に関して微分します：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2) \\\\ = 2xy + 3y^2 \]
b. \(f\) を \(y\) に関して微分します：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2) \\\\ = x^2 + 6xy \]
2. 二階偏微分
a. \(x\) に関する二階偏微分：
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy + 3y^2) = 2y \]
b. \(y\) に関する二階偏微分：
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 + 6xy) = 6x \]
c. \(x\) に関して \(y\) で微分：
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\= \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy + 3y^2) = 2x + 6y \]
d. \(y\) に関して \(x\) で微分（関数の混合偏微分が連続する場合、対称性により結果は同じになります）：
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 + 6xy) = 2x + 6y \]
\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) が成立し、これは連続する混合偏微分の等式に関するクレローの定理を示しています。
例2
次の関数 \(g(x, y) = e^{xy} + \sin(x)y^2 \) の一階および二階偏微分を計算せよ。
例2の詳細な解答
1. 一階偏微分
a. \(g\) を \(x\) に関して微分：
\[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \\\\= ye^{xy} + \cos(x)y^2 \]
b. \(g\) を \(y\) に関して微分：
\[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \\\\= xe^{xy} + 2y\sin(x) \]
2. 二階偏微分
a. \(x\) に関する二階偏微分：
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\=\dfrac{\partial}{\partial x}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= y^2e^{xy} - y^2\sin(x) \]
ここでは、積の微分法則を両方の項に適用します。
b. \(y\) に関する二階偏微分：
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= x^2e^{xy} + 2\sin(x) \]
この場合も、積の微分法則が適用されます。
c. \(x\) に関して \(y\) で微分：
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
d. \(y\) に関して \(x\) で微分（再び、対称性と混合偏微分の連続性により、結果は同じになります）：
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ =
\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
\(\dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\) が成立し、これはクレローの定理を示しています。
例3
関数 \( f(x, y) = x^3y^2 + x^2e^y \) の一階、二階、および三階偏微分 \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} \) および \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} \) を計算せよ。
例3の詳細な解答
1. 一階偏微分
a. \(x\) に関して：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2e^y) \\\\= 3x^2y^2 + 2xe^y \]
b. \(y\) に関して：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2e^y) \\\\= 2x^3y + x^2e^y \]
2. 二階偏微分
a. \(x\) に関して二回：
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\= 6xy^2 + 2e^y \]
b. \(y\) に関して二回：
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 2x^3 + x^2e^y \]
c. \(x\) に関して \(y\) で微分：
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\ = 6x^2y + 2xe^y \]
d. \(y\) に関して \(x\) で微分：
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 6x^2y + 2xe^y \]
この例でも \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) が成立し、連続性のある混合偏微分の等式を示しています。
3. 三階偏微分
a. \(x\) に関して二回、その後 \(y\) に関して：
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(6xy^2 + 2e^y) = 12 x y + 2 e^y \]
b. \(x\)、その後 \(y\)、さらに \(x\) に関して：
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(6x^2y + 2xe^y) = 12xy + 2e^y \]
クレローの定理
クレローの定理（混合偏微分の等式としても知られる）は、ある点 \( (a, b) \) を含む開領域内で関数 \( f(x, y) \) の二階偏微分が連続であれば、混合偏微分の微分順序は結果に影響しないことを述べています。つまり、
\[
\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}}
\]
簡単な例でクレローの定理を示しましょう：
関数 \( f(x, y) = x^2y + y^3 \) を考えます。
まず、混合偏微分を求めましょう：
1. \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \) を求めます：
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2xy \]
2. \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \) を求めます：
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} = x^2 + 3y^2 \]
次に、混合偏微分を求めます：
1. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} \)：
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2 + 3y^2) = 2x \]
2. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \)：
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} (2xy) = 2x \]
クレローの定理に従い、両方の混合偏微分が連続かつ等しいので、\(\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}}\) が成立します。
参考リンクと文献
多変数関数の偏微分
多変数関数