多変数関数の偏微分
目次
偏微分の計算に関する例と演習問題を紹介します。
通常の微分は1変数関数を扱いますが、偏微分は多変数関数の概念を一般化したものです。
形式的には、関数 \( f(x_1, x_2, ..., x_n) \) の変数の1つ、たとえば \( x_i \) に関する偏微分は、\( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \) と表されます。それは、他の変数を固定した状態で、変数 \( x_i \) に関する関数 \( f \) の変化率を表します。
数学的には、\( x_i \) に関する \( f \) の偏微分は次のように定義されます：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_1, x_2, ..., x_i + h, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{h} \]
この定義は、\( x_i \) の変数に小さな変化 \( h \) を加えた際の商の極限として偏微分を定義しており、他の変数は固定されたままです。
偏微分は、他の変数を固定した状態で、1つの変数に関して関数がどのように変化するかを分析するのに役立ちます。
たとえば、\( f(x, y) \) の \( x \) に関する偏微分 \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \) を計算する際には、\( y \) を定数として扱います。
同様に、\( f \) の \( y \) に関する偏微分 \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \) を計算する際には、\( x \) を定数として扱います。つまり、\( f \) が \( y \) の変化に対してどのように変わるかを考え、\( x \) は一定とします。
これが偏微分の基本概念であり、他の変数を固定しながら1つの変数に対して関数がどのように変化するかを分析します。
偏微分は、微積分、微分方程式、最適化、および物理学、経済学、工学などのさまざまな科学分野で広く使用されています。それらは多変数微積分や複数の独立変数を持つシステムの解析において重要な役割を果たします。偏微分計算機が含まれており、計算の確認に使用できます。
例と解答
例1
次の関数 \( f \) の \( x \) に関する偏微分 \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \) と、\( y \) に関する偏微分 \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \) を計算せよ。
\[ f(x, y) = 3x^2 + 4xy - y^2 \].
例1の解答
1. \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) の \( x \) に関する偏微分：
\( f \) の \( x \) に関する偏微分を計算します。
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
和の微分則を使用して
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) \]
注意: 関数 \( f(x, y) \) の \( x \) に関する偏微分を計算する際には、\( y \) を定数として扱います。
累乗則を使うと
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) = 6x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) = 4y\]
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) = 0\]
したがって
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y - 0\]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y \].
2. \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) の \( y \) に関する偏微分：
今度は \( f \) の \( y \) に関する偏微分を計算します。
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
和の微分則を使用して
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) \]
注意: 関数 \( f(x, y) \) の \( y \) に関する偏微分を計算する際には、\( x \) を定数として扱います。
次のように計算できます：
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) = 0 \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy)= 4x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y \]
したがって
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 + 4x - 2y \]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 4x - 2y\]。
例2
関数 \( g \) の \( x \)、\( y \)、および \( z \) に関する偏微分を計算せよ。ここで \( g \) は次のように与えられます。
\[ g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \].
例2の解答
\( g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \) の \( x \)、\( y \)、\( z \) に関する偏微分を、それぞれ独立した変数として扱いながら計算します。
1. \( x \) に関する偏微分：
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
積の微分則を使用すると
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right)
\]
それぞれの項を計算すると
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = y e^{xy}
\]
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
したがって
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
2. \( y \) に関する偏微分：
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
積の微分則を使用して
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right)
\]
次のように計算できます：
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy}
\]
\( \cos(z) \) は \( y \) に依存しないため、その偏微分はゼロです。
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
したがって
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
3. \( z \) に関する偏微分：
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
積の微分則を使用して
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right)
\]
次のように計算できます：
a. \( e^{xy} \) は \( z \) に依存しないため、その微分はゼロです。
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) = 0
\]
b. \( \cos(z) \) の \( z \) に関する偏微分：
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) = -\sin(z)
\]
したがって
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
したがって、\( g \) の \( x \)、\( y \)、\( z \) に関する偏微分は次のとおりです：
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
演習問題と解答
次の関数の偏微分を求めよ。
- \( g(u,v) = u^2 \; v^2 + e^{u^2+v^2} \)
- \( f(x,y,z) = \sin (xy )\;\ln (xyz ) \)
- \( h(x,y,z) = \dfrac{z}{x \;y \;z +1} \)
上記演習問題の解答
-
\( \dfrac{\partial g}{\partial u} = 2 \;u \;v^2 + 2u \; e^{u^2+v^2}\)
\( \dfrac{\partial g}{\partial v} = 2 \;v \;u^2 + 2v \; e^{u^2+v^2}\)
-
\( \dfrac{\partial f}{\partial x} = y \;\cos(xy)\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{x} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial y} = x\;\cos (xy )\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{y} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\sin (xy)}{z} \)
-
\( \dfrac{\partial h}{\partial x} = -\dfrac{y z^2 }{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial y} = -\dfrac{x z^2}{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial z} = \dfrac{1}{\left(zxy+1\right)^2} \)
参考リンクと文献
多変数関数
2階およびそれ以上の偏微分