微分方程式の入門
目次
微分方程式とは、未知関数とその微分を含む方程式です [1] , [2] , [3] 。
微分方程式は、科学、工学、数学のさまざまな分野でシステムやその他の挙動をモデル化するために使用されます。
微分方程式の階数
微分方程式に含まれる最高階の微分がその方程式の階数を決定します。
例
次の微分方程式
\[ \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
は、最高階の微分が \( y \) の1階微分 \( \dfrac{dy}{dx} \) であるため、1階の微分方程式です。
次の微分方程式
\[ \dfrac{d^3y}{dx^3} - 5\dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} = 0 \]
は、最高階の微分が \( y \) の3階微分 \( \dfrac{d^3y}{dx^3} \) であるため、3階の微分方程式です。
次の微分方程式
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
は、最高階の微分が \( y \) の2階微分 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) であるため、2階の微分方程式です。
微分方程式の線形性
微分方程式は、その線形性に基づいて分類されます。
線形微分方程式
未知関数とその微分の最高次数が1であり、それらが互いに掛け合わされていない場合、その微分方程式は線形とされます。線形微分方程式の一般形は次のように表せます。
\[ a_n(x)\dfrac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1(x)\dfrac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x) \]
ここで、\( a_i(x) \) は \( x \) の関数、\( y \) は未知関数、\( g(x) \) は既知の \( x \) の関数です。
例
次の微分方程式
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2y = 0 \]
は線形であり、未知関数 \( y \) とその2階微分 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) が次数1以上であるか、掛け合わされていないためです。
次の微分方程式
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2 y = 0 \]
も線形であり、未知関数 \( y \) とその2階微分 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \)、および1階微分 \( \dfrac{dy}{dx} \) が次数1以上であるか、掛け合わされていないためです。
非線形微分方程式
未知関数またはその微分のいずれかが次数1以上であるか、互いに掛け合わされている場合、その微分方程式は非線形とされます。平方根、対数、指数、三角関数、またはその他の非線形関数を含む微分方程式も非線形です。
非線形微分方程式は複雑な挙動を示すことがあり、解くのが難しい場合があります。
例
次の微分方程式
\[ \dfrac{dy}{dx} = y^2 + 3 \]
は、\( y \) が2乗されているため、線形ではありません。
次の微分方程式
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = e^{y} \]
は、\( y \) が非線形項 \( e^{y} \) に含まれているため、線形ではありません。
次の微分方程式
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \sin(y) \]
は、\( y \) が三角関数 \( \sin(y) \) 内に含まれているため、線形ではありません。
参考文献とリンク
1 - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
2 - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
3 - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
2階微分方程式計算機