オイラーの公式
目次
オイラーの公式の導出
オイラーの公式の導出には、微積分、冪級数、複素数の概念が含まれます。
指数関数 \( e^x \)、余弦関数 \( \cos(x) \)、および正弦関数 \( \sin(x) \) の 冪級数 展開を考えます。
これらの関数の冪級数展開は次の通りです:
\[ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots \]
\[ \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \]
\[ \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots \]
次に、これらの展開に \( ix \) を代入するとどうなるかを考えてみましょう。
\[ e^{ix} = 1 + ix + \dfrac{(ix)^2}{2!} + \dfrac{(ix)^3}{3!} + \dfrac{(ix)^4}{4!} + \dfrac{(ix)^5}{5!} + \cdots \]
\[ = 1 + ix - \dfrac{x^2}{2!} - i\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + i\dfrac{x^5}{5!} - \cdots \]
\( e^{ix} \) を標準形式 \( Re + i Im \) の複素数として書くと:
\[ e^{ix} = \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) + i \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \]
偶数べき \( \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) \) は \( \cos(x) \) の級数展開を形成し、奇数べき \( \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \) は \( \sin(x) \) の級数展開を形成します。したがって、これらを組み合わせて次のように書けます:
\[ \Large \color{red} {e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)} \]
オイラーの公式に関連する等式と公式
オイラーの等式
\( x = \pi \) の場合、オイラーの公式は次のようになります:
\[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \]
これを次のように書くことができます:
\[ \Large \color{red} { e^{i\pi} + 1 = 0} \]
この方程式は、数学で最も重要な5つの定数、すなわち \( e \)、\( \pi \)、\( i \)、\( 1 \)、および \( 0 \) を組み合わせたものです。
ド・モアブルの定理
任意の整数 \( n \) に対するオイラーの公式の拡張:
\[ (e^{i x})^n = (\cos(x) + i\sin(x))^n \]
指数法則を使用して
\[ (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos (n x) + i \sin (n x) \]
したがって、ド・モアブルの定理は
\[ \Large \color{red} {(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos (n x) + i \sin (n x)} \]
この公式は、複素数のべきを計算するのに非常に役立ちます。
\( \sin \) と \( \cos \) に対するオイラーの公式
次の式から始めます
\[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]
および
\[ e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x) \]
左辺と右辺を加減して次を得ます。
\[ e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \]
および
\[ e^{ix} - e^{-ix} = 2 i\sin(x) \]
これを使って \( \cos(x) \) および \( \sin(x) \) を解くと、次が得られます。
\[ \Large \color{red} { \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} } \]
\[ \Large \color{red} { \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} } \]
これらの等式は、三角関数 \( \sin(x) \) および \( \cos(x) \) を指数関数 \( e^{ix} \) に関連付けます。
これらの等式は、数学、物理学、および工学のさまざまな分野で応用されます。指数関数的成長、周期的運動、および複素数の間の深い関連性を提供します。
三角法の等式とオイラーの公式
オイラーの公式を使用して三角法の等式を証明する方法の例を示します。
例
三角法の等式 \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \) を証明しなさい。
解法
等式 \( \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \) を使用して次のように書きます。
\[ \sin(A+B) = \dfrac{e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)}}{2i} \quad (I)\]
指数の性質 \( e^{x+y} = e^x e^y \) を使用して、\( e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} \) を次のように書き換えます。
\[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = e^{iA} e^{iB} - e^{-iA} e^{-iB} \]
右辺の項をオイラーの公式を使って展開します。
\[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos (-A) + i \sin(- A))(\cos(- B) + i \sin (-B) )\]
等式 \( \cos (-A) = \cos A \) および \( \sin(-A) = - \sin A \) を使用して、次のように書き直します。
\[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos A - i \sin A)(\cos B - i \sin B) \]
右辺を展開して簡略化します。
\[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = 2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B \]
これを (I) に代入して次を得ます。
\[ \sin(A+B) = \dfrac{2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B}{2i} \]
簡略化すると、非常によく知られている三角法の公式が得られます。
\[ \Large \color{red} { \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B } \]