例 2
上記の2つの方法を使用して、次の二重積分を評価します: \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \;dx \;dy \)
例 2 の解答
1) 最初に \( x \) に関する積分を行い、その後 \( y \) に関する積分を行います。
\( \displaystyle V = \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_1^3 \left(\int_0^4 (x^2-y+2) \;dx\right) \;dy \)
まず、内積分 \( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx \) を評価します。ここでは、偏微分を計算するときと同様に、\( y \) は定数として扱います。
\( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - y x + 2 x \right]_{x = 0}^{x=4} \)
上記を評価します。
\( I = \displaystyle (\dfrac{1}{3} 4^3 - 4y + 2\cdot4) - (\dfrac{1}{3} 0^3 - y (0) + 2 (0)) \)
簡略化します。
\( I = \left[ -4y+\dfrac{88}{3} \right] \)
\( I \) を \( V \) に代入して、外積分を計算します。
\( \displaystyle V = \int_1^3 \left( -4y +\dfrac{88}{3} \right) \;dy \)
上記の積分を評価します。
\( \displaystyle V = \left[ -2 y^2 + \dfrac{88}{3} y \right]_{y= 1}^{y=3} \)
\( \displaystyle V = (-2 (3)^2 + \dfrac{88}{3} (3)) - (-2 (1)^2 + \dfrac{88}{3} (1)) \)
\( \displaystyle V = \dfrac{128}{3} \)
2) 最初に \( y \) に関する積分を行い、その後 \( x \) に関する積分を行います。
\( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_0^4 \left(\int_1^3 (x^2-y+2) dy\right) \; dx \)
内積分 \( I = \displaystyle \int_1^3 (x^2-y+2) dy \) を評価します。ここでは、\( x \) は定数として扱います。
\( I = \left[ x^2 y - \dfrac{1}{2} y^2 x + 2 x y \right]_{y = 1}^{y=3} \)
\( = \displaystyle \left( ( x^2 (3) - \dfrac{1}{2} (3)^2 x + 2 x (3) ) - (x^2 (1) - \dfrac{1}{2} (1)^2 x + 2 x (1)) \right) \)
簡略化します。
\( I = 2x^2 \)
\( I \) を \( V \) に代入します。
\( \displaystyle V = \int_0^4 2x^2 dx \)
上記の積分を評価します。
\(V = \displaystyle \left[ \dfrac{2}{3} x^3 \right]_{x=0}^{x=4} \)
\( V = \dfrac{128}{3} \)
注意
1) 積分を分割する2つの方法は同じ答えを導きます。
2) 二重積分を計算していましたが、実際には単一積分を扱っており、もちろんすべての積分の公式や性質が使用できます。
例 3
次の二重積分を評価します: \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \; dy \)
例 3 の解答
内積分から始めます。
\( \displaystyle I = \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \)
\( I \) を評価します。
\( \displaystyle I = \left[ \dfrac{2}{3} (2+x+y)^{3/2} \right]_0^4 \)
上記を評価します。
\( \displaystyle I = \left( \dfrac{2}{3} (2+4+y)^{3/2} - \dfrac{2}{3} (2+0+y)^{3/2} \right) \)
簡略化します。
\( \displaystyle I = \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \)
内積分 \( I \) を \( V \) に代入します。
\( \displaystyle V = \int_1^3 \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \; dy \)
上記の積分を計算します。
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+y)^{5/2} - (2+y)^{5/2} \right]_1^3 \)
積分限界を使用して評価します。
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+3)^{5/2} - (2+3)^{5/2} \right] - \dfrac{4}{15} \left[ (6+1)^{5/2} - (2+1)^{5/2} \right] \)
\( \displaystyle \approx 19.48 \)
例 4 積分の限界に変数が含まれる場合
次の二重積分を評価します: \( \displaystyle V = \int _{1\:}^2\:\int _{y-1}^{y}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \; dy \)
例 4 の解答
内積分を \( \displaystyle I = \int _y^{y+1}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \) とします。
上記の積分を計算します。
\( I = \left[ \dfrac{x^2}{2}+ \dfrac {x}{y} \right]_{y-1}^{y} \)
積分の限界を使用して \( I \) を評価します。
\( I = \left( \dfrac{(y)^2}{2}+ \dfrac {y}{y} \right) - \left( \dfrac{(y-1)^2}{2}+ \dfrac {y-1}{y} \right) \)
簡略化します。
\( I = y - 1/2 + \dfrac{1}{y} \)
\( I \) を \( V \) に代入し、外積分を計算します。
\( \displaystyle V = \int _{1\:}^2 ( y - 1/2 + \dfrac{1}{y} ) \; dy \)
上記の積分を計算します。
\( \displaystyle V = \left [\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{y}{2} + \ln |y| \right]_1^2 \)
\( \displaystyle V = (\dfrac{(2)^2}{2} - \dfrac{(2)}{2} + \ln |(2)|) - (\dfrac{(1)^2}{2} - \dfrac{(1)}{2} + \ln |(1)|) \)
簡略化します。
\( V = \ln 2 + 1 \)
例 5
次の二重積分を評価します: \( \displaystyle V = \int _0^{\pi}\:\int _0^1\left(x \sin(x^2)+y\:\right)dy\:dx \)
例 5 の解答
内積分を \( \displaystyle I = \int _0^1\left(x\sin\left(x^2\right)+y\:\right)dy \) とします。
上記の積分を計算します。
\( I = \left[ x\sin(x^2) y + \dfrac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
積分の限界を使用して \( I \) を評価します。
\( I = x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} \)
\( I \) を \( V \) に代入し、外積分を計算します。
\( \displaystyle V = \int _{0\:}^{\pi} ( x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} ) \; dx \)
上記の積分を計算します。
\( \displaystyle V = \left [ -\dfrac{1}{2} \cos (x^2) + \dfrac{1}{2} x\right]_0^{\pi} \)
簡略化します。
\( \displaystyle V = \dfrac{-\cos(\pi^2)+\pi+1}{2} \)
例 6
定数 \( k \) を求めます。 \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx = 5 \)
例 6 の解答
\( \displaystyle V = \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx \) とします。
内積分は \( \int _0^3 k x^2 (y+1) dy \) です。
\( I \) を計算します。
\( I = \left [k x^2 (\dfrac{y^2}{2}+y) \right]_0^3 = k \dfrac{15}{2} x^2 \)
\( I \) を \( V \) に代入します。
\( \displaystyle V = \int _0^1 k \dfrac{15}{2} x^2 dx \)
\( V \) を評価します。
\( V = \left [ \dfrac{5 k}{2} x^3 \right]_0^1 = \dfrac{5 k}{2} \)
次に、方程式を解いて \( k \) を求めます。
\( k = 2 \)
例 7
定数 \( b \) を求めます。 \( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx = 10 \) かつ \( b \gt 0 \)
例 7 の解答
\( \displaystyle V = \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx \) とします。
内積分を \( I \) とします。
\( I = \displaystyle \int _0^b (2x+y )dy \)
\( I \) を評価します。
\( \displaystyle I = \left[\dfrac{y^2}{2}+2xy\right]_0^b = \dfrac{b^2}{2}+2bx \)
\( I \) を \( V \) に代入し、\( V \) を評価します。
\( \displaystyle V = \int _1^2\ \left(\dfrac{b^2}{2}+2bx \right) dx \)
\( = \left[ \dfrac{b^2}{2}x+bx^2 \right]_1^2 \)
\( = \dfrac{b^2}{2}+3b \)
\( b \) を求めるために、方程式を解く必要があります。
\( \dfrac{b^2}{2}+3b = 10 \)
上記の方程式を解き、正の解を選択します。
\( b = -3+\sqrt{29} \)