球座標における2つのベクトル間の角度計算機

計算で使用される式

球座標で与えられた2つのベクトルの角度 \( \alpha \) を計算します。
球座標系の原点を始点とする2つのベクトルの終点が \( P_1(\rho_1,\theta_1,\phi_1) \) と \( P_2(\rho_2,\theta_2,\phi_2) \) で与えられます。

まず、点 \( P_1 \) と \( P_2 \) の座標を長方形座標に変換します。点 \( P_1(x_1, y_1, z_1) \)、点 \( P_2(x_2, y_2, z_2) \) は次の式で表されます。
\( x_1 = \rho_1 \sin \phi_1 \cos \theta_1 \), \( y_1 = \rho_1 \sin \phi_1 \sin \theta_1 \), \( z_1 = \rho_1 \cos \phi_1 \)
\( x_2 = \rho_2 \sin \phi_2 \cos \theta_2 \), \( y_2 = \rho_2 \sin \phi_2 \sin \theta_2 \), \( z_2 = \rho_2 \cos \phi_2 \)

ベクトル \( \vec{OP_1} = \vec V_1 \) および \( \vec{OP_2} = \vec V_2 \) の成分は
\( \vec V_1 < x_1 , y_1 , z_1 > \) および \( \vec V_2 < x_2 , y_2 , z_2 > \)

\( \vec V_1 \) と \( \vec V_2 \) の内積は次の式で表されます。
\( \vec V_1 \cdot \vec V_2 = ||\vec V_1 || \cdot ||\vec V_2 || \cos \alpha \)
従って、
\( \alpha = \arccos \left(\dfrac {\vec V_1 \cdot \vec V_2}{||\vec V_1 || \cdot ||\vec V_2 ||} \right) \)
ここで
\( \vec V_1 \cdot \vec V_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \)
および
\( ||\vec V_1 || = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \), \( ||\vec V_2 || = \sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \)
注意: \( ||\vec V_1 || = 0 \) または \( ||\vec V_2 || = 0 \) の場合、2つのベクトル間の角度は未定義です。

球座標における2つのベクトル間の角度を計算する計算機の使用方法

1 - 点 \( P_1 \) の球座標 \( \rho_1 \)、\( \theta_1 \)、\( \phi_1 \)、および点 \( P_2 \) の球座標 \( \rho_2 \)、\( \theta_2 \)、\( \phi_2 \) を入力し、角度の単位を選択して「計算」を押します。また、小数点以下の桁数を必要に応じて変更できます。正の整数である必要があります。

参考リンク

数学計算機とソルバー。