フーリエ変換の例と解説
目次
フーリエ変換の定義
フーリエ変換は、時間の関数（または信号）を周波数領域に分解する手法です。
数学的には、以下のように定義されます[1]、[2]、[3]:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
ここで \( F(\omega) \) は関数 \( f(t) \) のフーリエ変換であり、\( \omega \) は角周波数、\( j \) は虚数単位 \( j = \sqrt {-1} \) です。
逆フーリエ変換は、フーリエ変換 \( F(\omega) \) を元に時間領域に戻す式です:
\[ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
例1: 矩形波のフーリエ変換
矩形波関数 \( f(t) \) を次のように定義します:
\[
f(t) = \begin{cases} 1, & \text{if } -\dfrac{T}{2} \leq t \leq \dfrac{T}{2} \\ 0, & \text{それ以外の場合} \end{cases}
\]
\( f(t) \) のフーリエ変換は次のように定義されます:
\[
F(\omega) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-j\omega t} dt
\]
この積分を評価すると:
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left[ e^{-j\omega t}\right]^{T/2}_{-T/2}
\]
\[
= \dfrac{1}{-j\omega} \left( e^{-j\omega \dfrac{T}{2}} - e^{j\omega \dfrac{T}{2}} \right)
\]
次に、 オイラーの公式 \( e^{j \; x} = \cos(x)+ j\; \sin(x) \) を使って、上の積分を次のように書き換えます。
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left( \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) \right)
\]
\[
= \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
したがって、矩形波関数のフーリエ変換は次のようになります:
\[
F(\omega) = \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
これは、矩形波関数の振幅スペクトルを示しており、周波数成分の振幅が周波数に応じてどのように変化するかを示しています。
例2: サイン関数のフーリエ変換
次に示すサイン関数のフーリエ変換を求めます:
\[ f(t) = A \sin( \omega_0 t) \]
ここで:
- \( A \) はサイン波の振幅、
- \( \omega_0 \) はサイン波の角周波数、
- \( t \) は時間を表します。
\( f(t) \) のフーリエ変換は次のように与えられます:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
\( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \) を代入すると:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} A \sin( \omega_0 t) e^{-j\omega t} dt \]
オイラーの公式を使って、サイン関数を次のように書き換えます:
\[ \sin(x) = \dfrac{e^{jx} - e^{-jx}}{2\;j} \]
したがって、次のようになります:
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{j(\omega_0 - \omega t)} - e^{-j(\omega_0 t + \omega t)}) dt \]
これらの積分を個別に評価すると:
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2 \; j} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(\omega_0 t - \omega t)} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega_0 + \omega t)} dt \right) \]
次に、ディラックのデルタ関数の性質を使用して、これらの積分を評価します。\( \omega = \omega_0 \) の場合、最初の積分は \( 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \)、2つ目の積分は \( 2\pi \delta(\omega + \omega_0) \) になります。
したがって、\( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \) のフーリエ変換は次のようになります:
\[ F(\omega) = -j \pi A (\delta(\omega - \omega_0) + j \pi A \delta(\omega + \omega_0)) \]
この結果は、フーリエ変換が周波数 \( \omega = \pm \omega_0 \) に位置する2つのインパルスから成り、振幅は \( \pi A \) であることを示しています。
その他の参考資料とリンク
[1] - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
[2] - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
[3] - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
フーリエ級数と変換の公式