ローパスフィルタの伝達関数
目次
1次および2次の受動ローパスフィルタの詳細な数学的解析を示します。
1次および2次ローパスフィルタの解析には高度な数学が必要ですが、
ローパスフィルタの伝達関数グラフ計算機が利用でき、さらなる練習に役立ちます。
受動部品のインピーダンス
抵抗器のインピーダンス \( Z_R \) は次の式で与えられます。
\( \quad Z_R = R \)
コンデンサ \( Z_C \) のインピーダンスとインダクタ \( Z_L \) のインピーダンスは、それぞれ次の複素数形式で表されます：
\( \quad Z_C = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} = \dfrac{1}{ s \; C} \)
\( \quad Z_L = j \; \omega \; L = s \; L \)
ここで、\( s = j \; \omega \) です。
1次ローパスフィルタの伝達関数
次の回路を考えます。入力信号 \( v_{in} \) の周波数 \( f \) が低下するにつれて、角周波数 \( \omega \; ( \; = \; 2\pi f ) \) も低下し、コンデンサのインピーダンス \( Z_{C_1} = \dfrac{1}{ s \; C} = \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \) が増加します。そのため、抵抗 \( R \) にかかる電圧はゼロに近づき、出力電圧 \( v_{out} \) は \( v_{in} \) に近づきます。
周波数が上がると、コンデンサのインピーダンスはゼロに近づき、出力電圧 \( v_{out} \) はゼロに近づきます。したがって、図1のRC回路は低周波数のみを出力に通過させます。これはローパスフィルタです。
図1 - RCローパスフィルタ
伝達関数を \( H = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) とします。
図1の回路は電圧分割器であり、複素形式のインピーダンスを使用すると次のようになります。
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_{C_1} }{Z_{C_1} + Z_{R_1}} \)
ここで \( Z_{C_1} = \dfrac {1}{s \; C_1} \) および \( Z_{R_1} = R_1 \) を代入すると
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \dfrac {1}{s \; C_1} }{ \dfrac {1}{s \; C_1} + R_1} \)
これを簡略化すると
\[ H(s) = \dfrac{ 1}{1 + R_1 \; C_1 \; s } \quad (I)\]
または
\[ H(\omega) = \dfrac{ 1}{1 + j \; R_1 \; C_1 \; \omega } \quad (II) \]
注：フィルタの次数は、伝達関数における最大の \( s \) の累乗によって決まります。(I)では最大の累乗は1であるため、このフィルタは1次です。
\( H(\omega) \) は2つの関数の商の複素関数であり、
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{Z_1}{Z_2} \)
複素数の原則に従い、絶対値は次のように与えられます。
\[ \qquad |H(\omega)| = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \]
引数（交流回路における位相）は次のように与えられます。
\( H(\omega) \) の引数 = \( Z_1 \) の引数 - \( Z_2 \) の引数
注：複素数における引数と交流回路における位相は同じ量です。
\( H(\omega) \) の絶対値 \( |H(\omega)| \)と位相 \( \Phi(\omega) \)は次のように与えられます。
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = \arctan(0) - \arctan \left(\dfrac{R_1 \; C_1 \; \omega}{1}\right) = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
1次ローパスフィルタの-3dBカットオフ周波数
カットオフ角周波数 \( \omega_c \) は次の式で定義されます。
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
上記の式を用いると次の方程式が得られます。
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
両辺を2乗して次のように書き換えます。
\[ \dfrac{1}{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2 } = \dfrac{1}{2}\]
これを解いて解を求めると次のようになります。
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
1次ローパスフィルタの例
\( R_1 = 100 \; \Omega \) および \( C_1 = 1 \; \mu F \) とします。
数値を代入すると、
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 \; C_1} = \dfrac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6} } = 10000 \; \text{ rad/s } \]
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(10^{-4} \times \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = - \arctan \left( 10^{-4} \times \; \omega \right) \]
注：フィルタが許容する周波数にわたる振幅 \( |H(\omega)| \) の平坦性をより明確に示すために、対数スケールで次のグラフを描きます。
\[ 20 \log_{10} (| H(\omega) |) \] その単位はデシベル（\( dB \)）です。
カットオフ周波数 \( \omega = \omega_c \) では、
\[ |H(\omega_c)| = 20 \log_{10} \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = -3.01029 dB\]
および
\[ |\Phi(\omega_c)| = - \arctan ( 1) = - 45^{\circ} \]
注：\( \omega_c \) は \( -3 \text{ dB} \) カットオフ周波数と呼ばれます。
大きな値の \( \omega \) に対するグラフの傾き
大きな値の \( \omega \) に対して、項 \( (R_1 \; C_1 \; \omega)^2 \) は \( 1 \) よりもはるかに大きくなります。したがって、次のような近似が可能です。
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega} \]
周波数 \( \omega = \omega_1 \) に対して、\[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
周波数 \( \omega = 10 \; \omega_1 \) に対して、\[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{10 \; R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
\[ 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{10}) = -20 \]
この \( 10 \) 倍の変化はデケード（decade）と呼ばれ、したがってグラフの傾きは \( -20 \; \text{dB} \)／デケード となります。
グラフ上の点 \( A \) と \( B \) はこの結果を示しています。点 \( A \) は \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) の周波数にあり、点 \( B \) は \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\) の周波数にあります。\( A \) から \( B \) に移動すると、振幅は \( 20 \; \text{dB} \) 減少します。
注：この挙動はカットオフ周波数以上の大きな \( \omega \) 値に対して発生します。
下記に \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) のグラフと位相 \( \Phi(\omega) \) のグラフを示します。
図2 - 1次RCローパスフィルタの伝達関数
カットオフ周波数 \( \omega = \omega_c \) では、位相 \( \Phi \) は \( -45^{\circ} \) です。
図3 - 1次RCローパスフィルタの位相
2次ローパスフィルタの伝達関数
次に、2つのローパスフィルタが直列に接続された場合の伝達関数を解析します。
一般に、下図に示すようにカスケード接続された回路の伝達関数 \( H(s) \)は次のように与えられます。
図4 - 2つのカスケード回路
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 \; Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 \; Z_2} \qquad (I) \]
上記の式(I)を用いて、図5に示す2次ローパスフィルタの伝達関数を求めます。
図5 - 2次RCローパスフィルタ
式(I)に \( Z_2 = R_2 \)、 \( Z_3 = Z_{C_2} = \dfrac{1}{C_2 \;s} \)、\( Z_3 = R_3 \)、 \( Z_4 = Z_{C_3} = \dfrac{1}{C_3 \;s} \) を代入すると次のようになります。
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
注：\( s \) の最高次の累乗は2であるため、このフィルタは2次です。
次に、\( s = j \; \omega \) と \( s^2 = - \omega^2\) を代入して \( H(s) \) を \( H(\omega) \) に書き換えます。
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \; \omega^2 + j \;(R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 ) \; \omega } \]
\( A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \)、\( B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 \) と定義し、次のように書き換えます。
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - A \omega^2 + j \;B \; \omega } \]
絶対値と位相は次の式で与えられます。
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
2次ローパスフィルタの-3dBカットオフ周波数
カットオフ角周波数 \( \omega_c \) は次の式で定義されます。
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
上記の式を代入して次の方程式が得られます。
\[ \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega_c^2)^2 + (B\omega_c)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \]
両辺を2乗して次のように書き換えます。
\[ A^2 \omega_c^4 + (B^2 - 2 \; A) \; \omega_c^2 - 1 =0 \]
上記の方程式は \( \omega_c^2 \) の2次方程式であり、4つの解を持ちますが、現実的な問題に対する有効な解は次のとおりです。
\[ \omega_c = \sqrt {\dfrac{{- B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A^2}} \]
これを次のように書き換えます。
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { - \dfrac{B^2}{2 \; A} + 1 + \sqrt{ \dfrac{B^4}{4 \; A^2} - \dfrac{4 B^2 \; A}{4 \; A^2} + 8 \dfrac{A^2}{4 A^2} } } \]
\( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} \) として次の式に簡略化します。
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { 1 - 2 r^2 + \sqrt{ 4 r^4 - 4 r^2+ 2 } } \]
2次ローパスフィルタの例
\( R_2 = 100 \; \Omega \)、 \( C_2 = 1 \; \mu F \)、\( R_3 = 100 \; \Omega \)、\( C_3 = 1 \; \mu F \) とします。
\( A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 = 100 \times 1 \times 10^{-6} \times 100 \times 1 \times 10^{-6} = 1 \times 10^{-8}\)
および
\( B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 = 100 \times 1 \times 10^{-6} + 100 \times 1 \times 10^{-6} + 100 \times 1 \times 10^{-6} = 3 \times 10^{-4} \)
\( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} = \dfrac{ 3 \times 10^{-4}}{2 \sqrt {1 \times 10^{-8}}} = 1.5 \)
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt { 1 \times 10^{-8}}} \sqrt { 1 - 2 (1.5)^2 + \sqrt{ 4(1.5)^4 - 4 (1.5)^2+ 2 } } = 3742.3 \; \text{rad/s} \]
大きな値の \( \omega \) に対するグラフの傾き
次に、 \( | H(\omega) | \) の分母の式を展開します。
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - 2 A \omega^2 + A^2 \omega^4 + B^2\omega^2 }} \]
大きな値の \( \omega \) に対しては、分母の \( A^2 \omega^4 \) の項が最も大きくなるため、次のように近似できます。
\[ | H(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega^2} \]
周波数 \( \omega = \omega_1 \) に対して、
\[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega_1^2} \]
周波数 \( \omega = 10 \omega_1 \) に対して、
\[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; (10 \; \omega_1)^2} \]
\( 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{100}) = -40 \)
このように、周波数が10倍になるごとに振幅は \( 40 \; \text{dB} \) 減少するため、グラフの傾きは\( -40 \; \text{dB} \)／デケードであると言えます。
下図は \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) および位相 \( \Phi(\omega) \) のグラフです。
図2 - 2次RCローパスフィルタの伝達関数
図3 - 2次RCローパスフィルタの位相
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