ステップバイステップの説明を含むラプラス変換の計算例を紹介します。
関数 \( f(t) \) が \( t \lt 0 \) のとき \( f(t) = 0 \) となる一方向関数である場合、ラプラス変換 \( F(s) \) は次の広義積分で定義されます。
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
または、以下で示すようなデルタ関数 \( \delta (t) \) のような関数を考慮するためのより正確な定義：
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
ここで、\( s \) は上記の広義積分が収束する複素数です。
以下では、\( j \) は虚数単位であり、\( j = \sqrt{-1} \) と定義します。
例1
次の関数 \( f(t) \) のラプラス変換を求めよ：
\[ f(t) = 1 \]
例1の解答
上記のラプラス変換の定義を使用します。
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \)
積分区間 \( [0, \infty ) \) で \( f(t) = 1 \) であるため、\( F(s) \) は次のように簡略化されます。
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} dt \)
上記の広義積分を次のように計算します。
\( \displaystyle F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ -\dfrac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{T} \)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} - \dfrac{e^{-sT} - e^{0}}{s} \)
\( s \) の実部が正の場合、\( \lim_{T \to +\infty} e^{-sT} = 0\) となるため、積分は収束し、\( F(S) \) は次のようになります。
\[ F(S) = \dfrac{1}{s} \]
例2
次の関数 \( f(t) \) のラプラス変換を求めよ：
\[ f(t) = e^{at} \]
例2の解答
上記の定義を使用します。
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st} dt \)
指数を簡略化します。
\( \displaystyle \quad \quad = \int_{0}^{+\infty} e^{(a-s)t} dt \)
上記の広義積分を計算します。
\( F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{a - s} e^{(a-s)t} \right]_{0}^{T} \)
\( \displaystyle \quad \quad = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(a-s)T} - e^{0}}{a-s} \)
\( s \) の実部が \( a \) の実部より大きい場合、\( \lim_{T \to +\infty} e^{(a-s)T} = 0\) となるため、積分は収束し、\( F(S) \) は次のようになります。
\[ F(S) = \dfrac{1}{s - a} \]
例3
次の関数 \( f(t) \) のラプラス変換を求めよ：
\[ f(t) = \sin(\omega t) \]
例3の解答
上記の定義を使用します。
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \sin(\omega t) e^{-st} dt \)
\( \sin(\omega t) \) を指数関数を用いて表します。
\( \sin(\omega t) = \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} \)
代入して積分を計算します。
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} e^{-st} dt \)
被積分関数を分割し、積分を和/差として書き換えます。
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t} e^{- s t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{-j \omega t}e^{ - st}}{2 j} dt \)
指数をまとめ、\( t \) を因数として括り出します。
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (j \omega - s) t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(j \omega + s) t}}{2 j} dt \)
積分を評価します。
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2j( j \omega - s)} e^{(j\omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{-2j( j \omega + s)} e^{ - (j\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T} - e^0}{2j( j \omega - s)} - \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }- e^0}{-2j( j \omega + s)} \)
\( s \) の実部が正の場合、\( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T}}{2j( j \omega - s)} = 0 \) および \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }}{-2j( j \omega + s)} = 0 \) となるため、積分は収束し、\( F(S) \) は次のようになります。
\( \displaystyle F(s) = - \dfrac {1}{2j( j \omega - s)} - \dfrac {1}{2j( j \omega + s)} \)
共通の分母に揃えて簡略化すると、
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{\omega}{\omega^2+s^2} \]
例4
関数 \( f(t) = \cosh(\omega t) \) のラプラス変換を求めよ。
例4の解答
ラプラス変換の定義を使用します。
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \cosh(\omega t) e^{-st} dt \)
\( \cosh(\omega t) \) を指数関数を用いて表します。
\( \cosh(\omega t) = \dfrac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} \)
代入して積分を計算します。
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{\omega t } + e^{-\omega t }}{2 } e^{-st} dt \)
被積分関数を分割します。
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ \omega t} e^{ - s t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -\omega t}e^{ - s t}}{2} dt \)
指数をまとめ、\( t \) を因数として括り出します。
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (\omega - s)t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(\omega + s)t}}{2} dt \)
積分を評価します。
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2( \omega - s)} e^{(\omega-s)t} \right]_{0}^{T} + \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{ - 2( \omega + s)} e^{ - (\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( s \) の実部が \( \omega \) より大きい場合、\( \lim_{T \to +\infty} e^{(\omega-s)T} = 0 \) および \( \lim_{T \to +\infty} e^{-(\omega + s)T} = 0 \) となるため、積分は収束し、次のようになります。
\( \quad \quad \displaystyle F(s) = \dfrac{-1}{2(\omega - s)} + \dfrac{-1}{-2(\omega + s)} \)
これを簡略化すると、
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{s}{s^2 - \omega^2} \]
例5 ディラックデルタ関数のラプラス変換。
デルタ関数のラプラス変換を求めよ：a) \( \delta (t) \) および b) \( \delta (t - a) , a \gt 0\)
例5の解答
まず、デルタ関数を含む積分は次のように評価されることを思い出します。
\[
\displaystyle \int_{A}^{B} f(t) \delta(t - a) dt =
\begin{cases}
f(a) & \text{for} \quad A \lt a \lt B \\
0 & \text{それ以外の場合} \\
\end{cases}
\]
a)
\( \delta (t) \) のラプラス変換を求めるには、次のラプラス変換の正確な定義が必要です。
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt \)
積分の区間は \( 0^{-} \) から始まり、上記のように積分にデルタ関数 \( \delta(t) \) を含めます。
上記の積分を評価します。
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1 \)
b)
関数 \( \delta (t - a) , a \gt 0\) の場合、
\( a \gt 0 \) であるため、ラプラス変換の定義から
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t - a)\} = \int_{0}^{+\infty} \delta(t - a) e^{-st} dt = e^{-as} \)