AC回路における平均電力の計算を例とその解答とともに紹介します。解答付きの問題も含まれています。
次の回路を考えてみましょう。
インピーダンス\( Z \)を極形式で次のように表します：\( Z = |Z| \; e^{j\theta} \)
\( v_i (t) = V_0 \; \cos(\omega t) \)
したがって
\( i (t) = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \cos (\omega t - \theta) \)
インピーダンス\( Z \)に供給される瞬時電力 \( P(t) \)は次のように与えられます。
\[ P(t) = i(t) \; v(t) = \dfrac{V_0^2}{|Z|} \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \]
平均電力は次のように定義されます。
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{1}{T} \int_0^T P(t) dt \]
上記の式で得られた\( P(t) \)を代入し、平均電力を次のように書きます。
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \; dt \)
次のように展開します： \( \quad \cos ( \omega t - \theta) = \cos \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \sin \theta \) を \( P_a \) に代入します。
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; (\cos^2 \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta ) \; dt \)
積分を左側の積分と右側の積分の和として次のように書きます：
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos^2 \omega t \; \cos \theta \; dt + \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt \)
三角関数の恒等式： \( \quad \sin(\omega t) \cos(\omega t) = \dfrac{1}{2} \sin(2 \omega t) \) を使用して、右側の積分を次のように書き換えます。
\( \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \int_0^T \sin (2 \omega t ) \; dt \)
\( \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos (2 \omega t ) \right]_0^T \)
\( \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos 2 \omega T - \cos 0 \right] \)
式\( \quad \omega = \dfrac{2 \pi}{T} \) を使用して \( \cos 2 \omega T \) を簡略化します。
\( \quad \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } [\cos (4 \pi) - \cos 0] \)
\( \quad \quad \quad \quad = 0 \)
三角関数の恒等式 \( \quad \cos^2 \omega t = \dfrac{1}{2} (\cos(2 \omega t )+1) \) を使用して、左側の積分を次のように書きます。
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; (\cos(2 \omega t )+1) \; dt \)
積分を二つの積分の和として書きます。
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \cos \theta \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt + \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
上記と同様にして、次のことが示されます： \( \displaystyle \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt = 0 \)
したがって、\( P_a \) は次のように与えられます。
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
\( \displaystyle \quad = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \left[t\right]_0^T \)
\[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
上記の式にある項 \( \cos \theta \) は力率と呼ばれます。
注: 一般に、\( |Z| \) と \( \cos \theta \) は周波数に依存するため、平均電力も電圧（または電流）源の周波数に依存します。
上記のように、計算は非常に難しい場合があるため、さらなる練習と調査のために直列RLC回路の電力計算機が含まれています。
例1
次の直列RLC回路では、供給電圧が\( v_i = 5 \cos (\omega t) \)、コンデンサの静電容量が\( C = 100 \; \mu F \)、インダクタのインダクタンスが\( L = 100 \; mH\)、抵抗が\( R = 1000 \; \Omega \)、周波数が\( f = 2000 \; Hertz \)です。
a) 直列RLC回路の合計インピーダンス \( Z \) を求め、それを極形式で表しなさい。
b) 合計インピーダンス \( Z \) に供給される平均電力を求めなさい。
例1の解答
a)
直列RLC回路の場合、\( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} ) \)
\( \omega = 2 \pi f = 4000 \pi \) rad/s
\( R \)、\( L \)、\( C \)、\( \omega \)をそれぞれの数値で置き換えて求めます。
\( Z = 1000 + j\left(4000 \pi \times 100 \times 10^{-3} - \dfrac{1}{4000 \pi \times 100 \times 10^{-6}} \right) \)
\( Z = 1000 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi} \right) j \)
インピーダンス \( Z \) は標準の複素形式 \( Z = a + j b \) で表されます。
同じインピーダンスは、極形式で次のように表されます：\( Z = |Z| e^{j\theta} \)
ここで \( \theta = \arctan \dfrac{b}{a} \)、\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \) です。
したがって
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \)
\( |Z| = \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} \)
b)
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \)
\( V_0 \)、\( |Z| \)、\( \theta \)を数値で置き換えて代入します。
\( \displaystyle P_a = \dfrac{5^2}{2 \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} } \cos \left( \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \right) \)
\( \quad \approx 0.00485 \; \text{ワット} \)
例2
例1のような直列RLC回路に供給される平均電力が周波数\( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)で最大となることを示し、この最大電力の式を求めなさい。
例2の解答
a) 直列RLC回路では、合計インピーダンスは次のように与えられます： \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
角周波数\( \omega \)は周波数\( f \)と次の式で関連しています：\( \omega = 2 \pi f = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
\( \omega \)を\( \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)で置き換えて\( Z \)に代入します。
\( Z = R + j (\dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{1}{\dfrac{C}{\sqrt{LC}}}) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{\sqrt{LC}}{C} ) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{\sqrt L}{\sqrt C} - \dfrac{\sqrt{L}}{\sqrt C} ) \)
これを簡略化すると次のようになります。
\( Z = R \)
周波数\( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)の場合、インピーダンス\( Z \)は実数であり、したがって
\( |Z| = R \)
インピーダンス \( Z \) の偏角 \( \theta \) はゼロであり、したがって \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) は最大値となります。
周波数\( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)の場合、力率 \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) は最大値であり、\( |Z| \) は最小値であり、これにより最大値を持つ平均電力が得られます。
\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \)
例3
例1のような直列RLC回路で、供給電圧が\( v_i = 2 \cos ( \omega t) \)、コンデンサの静電容量が\( C = 470 \mu \)F、インダクタのインダクタンスが\( L = 50 \)mH、抵抗が\( R = 100 \; \Omega \)です。
a) 上記の式で表される平均電力 \( P_a \) を表現し、角周波数 \( \omega \) の関数として \( P_a \) のグラフを作成し、\( P_a \) の最大値の位置を求めなさい。
b) 電力が角周波数 \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) （または周波数 \( f_r = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)）で最大となり、上記例2で説明されているように \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \) で与えられることを確認しなさい。
例3の解答
直列RLC回路の場合、\( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
モジュラス： \( |Z| = \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
偏角： \( \theta = \arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \)
平均電力 \( P_a \) は次のように与えられます。
\[ P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
\( V_0 \) と \( |Z| \) をそれぞれの式に置き換えます。
\( P_a (\omega ) = \dfrac{V_0^2}{2 \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \right) \)
\( R \)、\( L \)、\( C \)をそれぞれの値で置き換えて、\( P_a \)を\( \omega \)の関数として求めます。
\( P_a (\omega ) = \dfrac{2}{ \sqrt { 100^2 + \left( 50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{470 \times 10^{-6}\; \omega } \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{ 470 \times 10^{-6} \; \omega }} {100} \right) \right) \)
\( P_a (\omega ) \) 対 \( \omega \) のグラフは以下に示されています。
グラフの作成と最大値の位置の特定には、無料の geogebra グラフ計算機 が使用されました。
b)
上記の例2で説明されたように、平均電力は以下で最大になります。
\( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{ \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 470 \times 10^{-6} }} \approx 206.28\) rad/s
最大電力は次のように与えられます：\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} = \dfrac{2^2}{2 \times 100} = 0.02\) ワット
計算された \( \omega_r \) と \( P_a max \) の両方の値は、上記のグラフで見つかった値と一致しています。