AC回路における等価インピーダンスの計算

目次

直列および並列に接続されたインピーダンスの規則を使用して、さまざまなAC回路で等価インピーダンスを計算し、それらを標準、複素、極形式で複素数として表す方法の例を示します。例の詳細な解答も提示します。

例と解答

例1
以下の回路で点AとBの間の等価インピーダンスを求め、それを指数形式および極形式で表しなさい。

例1の解答
抵抗Rのインピーダンスを\( Z_1 \)とし、したがって\( Z_1 = R\)とします。
コンデンサ\( C \)とインダクタ\( L \)が並列で接続されている場合のインピーダンスを\( Z_2 \)とします。
\( Z_1 \)と\( Z_2 \)は直列にあり、等価インピーダンス\( Z_{AB} \)は直列インピーダンスの規則により次のように与えられます。
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)

複素形式での容量\( C \)のコンデンサのインピーダンスは\( \dfrac{1}{ j \omega C} \)と等しいです。
複素形式でのインダクタのインダクタンス\( L \)のインピーダンスは\( j \omega L \)と等しいです。
次に並列インピーダンスの規則を使用して\( Z_2 \)を次のように計算します。
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C}} \)
次のように書き換えることができます。
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + j \omega C \)
右辺を共通の分母で書きます。
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1-\omega^2 C L}{j\omega L} \)
\( Z_2 \)を求めます。
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
\( Z_{AB} \)を求めるために、\( Z_1 \)および\( Z_2 \)をその式で置き換えます。
\( Z_{AB} = R + \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
\( Z_{AB} \)のモジュラス \( |Z_{AB}| \) および偏角 \( \theta \)を求めます。
\( |Z_{AB}| = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \)
\( \theta = \arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)} \)
指数形式では、等価インピーダンスは次のように与えられます。
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } e^{\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)
極形式では次のように書かれます。
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \; \angle \; {\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)

例2
以下の回路で点AとBの間の等価インピーダンスを求め、指数形式および極形式で書きなさい。与えられている値:
\( L_1 = 20 \; mH \) , \( C_1 = 10 \; \mu F \) , \( L_2 = 40 \; mH \) , \( C_2 = 30 \; \mu F \) 信号の周波数 \( f = 1.5 \; kHz \)

例2の解答
コンデンサ\( C_1 \)とインダクタ\( L_1 \)が並列で接続されている場合のインピーダンスを\( Z_1 \)とします。
コンデンサ\( C_2 \)とインダクタ\( L_2\)が並列で接続されている場合のインピーダンスを\( Z_2 \)とします。
\( Z_1 \)と\( Z_2 \)は直列にあり、次のようにして\( Z_{AB} \)を計算するために直列インピーダンスの規則を使用します。
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)


次に並列インピーダンスの規則を使用して、次のようにして\( Z_1 \)と\( Z_2 \)を計算します。
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C_1}} \)
上記を次のように書き換えます。
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + j \omega C_1 \)
右辺を共通の分母で書きます。
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1 - \omega^2 L_1 C_1}{j\omega L_1} \)
\( Z_1 \)を求めます。
\( Z_1 = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} \)
\( Z_2 \)は\( Z_1 \)と同様に計算でき、次のように与えられます。
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
次に\( Z_1 \)と\( Z_2 \)をそれぞれの式で置き換えて、\( Z_{AB} \)を求めます。
\( Z_{AB} = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
\( j \omega \)をくくり出して、次のように\( Z_{AB} \)を書き直します。
\( Z_{AB} = j \omega \left (\dfrac{ L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{ L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \right) \)
\( L_1 , C_1 , L_2 , C_2 \)の数値および\( \omega = 2 \pi f \)を\( Z_{AB} \)に代入します。
\( Z_{AB} \approx - j 14.81 \)
\( Z_{AB} \)は純虚数であるため、\( Z_{AB} \)のモジュラス\( |Z_{AB}| \)および偏角\( \theta \)は次のように与えられます。
\( |Z_{AB}| \approx 14.81 \)
\( \theta = - \pi / 2 \)
指数形式
\( Z \approx 14.81 \; e^{-j \pi/2} \)
極形式
\( Z \approx 14.81 \angle - \pi/2 \)

例3
以下の回路で点AとBの間の等価インピーダンスを求め、指数形式および極形式で書きなさい。与えられている値:
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) 信号の周波数 \( f = 0.5 \; kHz \)

例3の解答
\( Z_1 = R_1 \)
\( Z_2 = \dfrac{1}{j \omega C_1} \)
\( Z_3 = R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2} \)
\( Z_2 \)と\( Z_3 \)は並列にあり、それらの等価インピーダンス\( Z_{2,3} \)は並列インピーダンスの規則を使用して次のように与えられます。
\( \dfrac{1}{Z_{2,3}} = \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3} \)
\( Z_{2,3} = \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)


\( Z_1 \)と\( Z_{2,3} \)は直列にあるため、
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_{2,3} = Z_1 + \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)
代入します。
\( Z_{AB} = R_1 + \dfrac{\dfrac{1}{j \omega C_1} \cdot (R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2})}{\dfrac{1}{j \omega C_1} + R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2}} \)
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) 信号の周波数 \( f = 0.5 \; kHz \)の数値を代入して、次のように求めます。
\( Z_{AB} \approx 20.49 -6.29 j \)
\( Z_{AB} \)のモジュラス
\( | Z_{AB} | \approx \sqrt{20.49^2 + (-6.29)^2 } = 21.43\)
\( Z_{AB} \)の偏角
\( \theta \approx \arctan (\dfrac{-6.29}{20.49}) = -0.20 rad \) または \( \theta = -17.07^{\circ} \)
したがって指数形式では
\( Z_{AB} \approx 21.43 e^{ -0.20 j} \)
極形式では
\( Z_{AB} \approx 21.43 \angle -17.07^{\circ} \)

参考文献とリンク