極形式インピーダンス計算機

極形式のインピーダンスを加算、減算、乗算、除算するためのオンライン計算機を紹介します。極形式インピーダンスの計算は、AC回路における等価インピーダンスを求める際に必要です。
\( \) \( \) 以下では、\( j \) は虚数単位であり、\( j^2 = -1 \) または \( j = \sqrt{-1} \) と定義されます。

複素形式でのインピーダンス

インピーダンスは極形式の複素数で次のように表されます：
\( Z = \rho \: \; \angle \; \: \theta \) 、ここで \( \rho \) は \( Z \) の大きさ、\( \theta \) はその位相（度またはラジアン）です。
標準的な複素形式での \( Z \) は次のように書かれます
\( Z = \rho \cos \theta + j \; \rho \sin \theta \)

1) キャパシタンス \( C \) のコンデンサは、インピーダンス \( Z_C \) を持ち、その大きさは \( \dfrac{1}{\omega C} \) であり、\( \omega = 2 \pi f \)、\( f \) は信号の周波数です。位相は \( - \dfrac {\pi}{2} \) に等しく、したがって \( Z_C \) は次のように書かれます。
標準複素形式では
\( Z_C = - \dfrac{j}{\omega C} \)
極形式では
\( Z_C = \dfrac{1}{\omega C} \; \angle \; - \dfrac {\pi}{2} \)

2) インダクタンス \( L \) のインダクタは、インピーダンス \( Z_L \) を持ち、その大きさは \( \omega L \) であり、\( \omega = 2 \pi f \)、\( f \) は信号の周波数です。位相は \( \dfrac {\pi}{2} \) に等しく、したがって \( Z_L \) は次のように書かれます。
標準複素形式では
\( Z_L = j \; \omega L \)
極形式では
\( Z_L = \omega L \; \angle \; \dfrac {\pi}{2} \)

3) 抵抗 \( R \) のレジスタは、インピーダンス \( Z_R \) を持ち、その大きさは \( R \) であり、位相は \( 0 \) に等しくなります。したがって、\( Z_R \) は次のように書かれます。
標準複素形式では
\( Z_R = R + j \; 0 \)
極形式では
\( Z_R = R \; \angle \; 0 \)

極形式インピーダンスの加算、減算、乗算および除算の公式

極形式インピーダンスの加算

\( z_1 = \rho_1 \; \angle \; \theta_1 \) と \( z_2 = \rho_2 \; \angle \; \theta_2 \) を仮定します。
標準複素形式で \( Z_1 \) と \( Z_2 \) を書きます。
\( Z_1 = \rho_1 \cos \theta_1 + j \; \rho_1 \sin \theta_1 \)
\(Z_2 = \rho_2 \cos \theta_2 + j \; \rho_2 \sin \theta_2 \)
\( Z_1 + Z_2 = \rho_1 \cos \theta_1 + \rho_2 \cos \theta_2 + j \; ( \rho_1 \sin \theta_1 + \rho_2 \sin \theta_2) \)
極形式では
\[ Z_1 + Z_2 = \rho \; \; \angle \; \theta \]
ここで
\( \rho = \sqrt {(\rho_1 \cos \theta_1 + \rho_2 \cos \theta_2)^2 + (\rho_1 \sin \theta_1 + \rho_2 \sin \theta_2)^2} \)
および
\( \theta = \arctan (\dfrac{\rho_1 \sin \theta_1 + \rho_2 \sin \theta_2}{\rho_1 \cos \theta_1 + \rho_2 \cos \theta_2}) \)

極形式インピーダンスの減算

標準複素形式では
\( Z_1 - Z_2 = \rho_1 \cos \theta_1 - \rho_2 \cos \theta_2 + j \; ( \rho_1 \sin \theta_1 - \rho_2 \sin \theta_2) \)
極形式では
\[ Z_1 - Z_2 = \rho \; \; \angle \; \theta \]
ここで
\( \rho = \sqrt {(\rho_1 \cos \theta_1 - \rho_2 \cos \theta_2)^2 + (\rho_1 \sin \theta_1 - \rho_2 \sin \theta_2)^2} \)
および
\( \theta = \arctan (\dfrac{\rho_1 \sin \theta_1 - \rho_2 \sin \theta_2}{\rho_1 \cos \theta_1 - \rho_2 \cos \theta_2}) \)

極形式インピーダンスの乗算および除算ははるかに簡単です。

極形式インピーダンスの乗算

\[ Z_1 \times Z_2 = \rho \; \; \angle \; \theta \] ここで
\( \rho = \rho_1 \times \rho_2 \)
および
\( \theta = \theta_1 + \theta_2 \)

極形式インピーダンスの除算

\[ \dfrac{Z_1}{Z_2} = \rho \; \; \angle \; \theta \] ここで
\( \rho = \dfrac{\rho_1}{\rho_2} \)
および
\( \theta = \theta_1 - \theta_2 \)

極形式インピーダンス計算機の使い方

1 - インピーダンス \( Z_1 \) の大きさおよび位相 \( \rho_1 \) および \( \theta_1 \)、およびインピーダンス \( Z_2 \) の大きさおよび位相 \( \rho_2 \) および \( \theta_2 \) を実数として入力し、位相 \( \theta_1 \) および \( \theta_2 \) をラジアンまたは度で入力して「計算」を押します。
出力は次の通りです：
標準複素形式での \( Z_1 \) および \( Z_2 \)
および
極形式での \( Z_1+Z_2\) 、 \( Z_1-Z_2\) 、 \( Z_1 \times Z_2 \) および \( \dfrac{Z_1}{Z_2} \) で位相は度で表されます。

計算結果

参考リンク

AC回路計算機とソルバー.
数学計算機とソルバー.