並列RLC回路インピーダンス計算機

目次

抵抗器、コンデンサ、インダクタが並列に接続された回路のインピーダンスを計算する計算機です。この計算機はインピーダンスを複素数として標準形式で表示し、そのモジュールと引数も計算します。これにより、インピーダンスを指数形式および極形式で表すことができます。

計算機で使用される並列RLC回路の公式と単位

まず、並列RLC計算機で使用される公式を示し、ページの下部でこれらの公式の証明を紹介します。

計算機の使い方

計算結果

並列RLC回路の公式の証明

次のように設定します。
\( Z_R = R \) , \( Z_C = \dfrac{1}{j \omega C} \) , \( Z_L = j \omega L\)
並列回路のインピーダンスの法則を適用して、等価インピーダンス \( Z \) を次のように求めます。
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_R} + \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L} \)

\( = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega C}} + \dfrac{1}{j \omega L} \)
次に設定します。
\( X_L = \omega L \) および \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)
上式を次のように書き直します。
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{X_C}{j}} + \dfrac{1}{j X_L} \)

\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{j}{{X_C}} - j \dfrac{1}{ X_L} \)

\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + j (\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} ) \)
この複素数のモジュール \( \rho \) は次のように与えられます。
\( \rho = \sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2} \)
その引数 \( \alpha \) は次のように与えられます。
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L}}{\dfrac{1}{R}} \right) \)
再配置して
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{R}{X_C}-\dfrac{R}{X_L} \right) \)
次に、複素数の指数形式を使用して次のように書きます。
\( \dfrac{1}{Z} = \rho e^{j\alpha} \)
次に、上記の逆数を取って複素数として等価インピーダンス \( Z \) を指数形式で次のように表します。
\( Z = \dfrac{1}{\rho} e^{-j \alpha} \)
\( Z \) を \( Z = r e^{j\theta} \) として表すと、次のようになります。
\( Z \) のモジュールは次のように与えられます。
\( r = 1/\rho = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
そして、\( Z \) の引数は次のようになります。
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)

上記の公式を使用した数値例

\( f = 1.5 \; kHz \) , \( C = 15 \; \mu F \) , \( L = 20 \; mH \) および \( R = 50 \; \Omega \)
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 1.5 \times 10^3 \times 20 10^{-3 } = 188.50 \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{ 2\pi f C} = \dfrac{1}{ 2\pi 1.5 \times 10^3 \times 15 10^{-6}} = 7.07\)
モジュール: \( \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)

\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{50}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{7.07}} - \dfrac{1}{ 188.50} \right)^2}} \)
\( = 7.27 \)
引数: \( \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( = \arctan \left(\dfrac{50}{188.50}-\dfrac{50}{7.07} \right) \)
\( = - 81.64^{\circ} \)
計算機に上記の値を入力して結果を確認してください。

追加の参考リンク