Risposta del Circuito RLC in Serie a una Tensione a Gradino

Tabella dei Contenuti

Utilizzo delle trasformate di Laplace per studiare la risposta di un circuito RLC a una tensione a gradino. Vengono sviluppate formule per la corrente e tutte le tensioni, e vengono presentati esempi numerici insieme alle loro soluzioni dettagliate.
Un calcolatore online per la risposta a gradino di un circuito RLC in serie può essere utilizzato per verificare i calcoli eseguiti manualmente.

Formule per la Corrente e le Tensioni in un Circuito RLC in Serie in Risposta a una Tensione a Gradino

Problema
Trova le espressioni per la corrente \( i \) e le tensioni attraverso il condensatore \( C \), gli induttori \( L \) e la resistenza \( R \) come funzioni del tempo nel circuito sottostante dato che la sorgente di tensione \( v_i = V_0 \; u(t) \), dove \( V_0\) è una costante e \( u(t) \) è la funzione gradino unitario. La corrente iniziale a \( t = 0 \) è uguale a zero.

Soluzione al Problema Sopra
Usa la legge delle tensioni di Kirchhoff per scrivere
\( v_i - v_R - v_L - v_C = 0 \)       (I)
Usa la legge di Ohm per scrivere
\( v_R = R \; i \)
Relazione tra tensione e corrente di carica di un condensatore
\( \displaystyle v_C = \dfrac{1}{C} \; \int i dt \)
Relazione tra tensione e corrente di carica di un induttore
\( \displaystyle v_L = L \; \dfrac{d i}{dt} \)
Sostituisci \( v_R \), \( v_L \) e \( v_C \) con le loro espressioni nell'equazione (I)
\( \displaystyle v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt = 0 \)
Prendi la trasformata di Laplace di entrambi i lati dell'equazione sopra
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Usa la proprietà della linearità della trasformata di Laplace e anche il fatto che \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) per riscrivere quanto sopra come
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i \} - R \mathscr{L}\{ i \} - L \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} - \dfrac{1}{C} \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = 0 \)
Poiché \( v_i(t) = V_0 \; u(t) \) dove \( V_0 \) è una costante e \( u(t) \) è la funzione gradino unitario, \( \mathscr{L}\{ v_i \} = \dfrac{V_0}{s} \)
Sia \( \mathscr{L}\{ i\} = I(s) \)
Usa la proprietà della derivata e dell'integrale (vedi formule e proprietà della trasformata di Laplace) per scrivere
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} = s I(s) - i(0) = s I(s) \) poiché la corrente iniziale è uguale a zero \( i(0) = 0 \)
\( \displaystyle \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = \dfrac{I(s)}{s} \)
Dopo la sostituzione, la nostra equazione diventa
\( \dfrac{V_0}{s} - R \; I(s) - L \; s \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C s} = 0 \)
NOTA che abbiamo trasformato la nostra equazione differenziale iniziale dal dominio \( t \) (tempo) al dominio \( s \).
Moltiplica tutti i termini dell'equazione sopra per \( s \) e semplifica
\( V_0 - R \; s \; I(s) - L \; s^2 \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C} = 0 \)
Estrai \( I(s) \) e riscrivi l'equazione sopra come
\( I(s) (L \; s^2 + R \; s +\dfrac{1}{C}) = V_0 \)
Risolvi quanto sopra per \( I(s) \) e riscrivi come segue
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L} s + \dfrac{1}{L C} } \)
Completa il quadrato nel denominatore
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \dfrac{R}{2 L} \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)
Sia \( \alpha = \dfrac{R}{2L} \)
e riscrivi l'equazione sopra come
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)

Consideriamo ora 3 casi a seconda del segno dell'espressione \( \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)
Caso 1: \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : Il circuito è sovraammortizzato

Sia \( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \) e riscrivi \( I(s) \) come
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\omega L} \times \dfrac{\omega}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \omega^2 } \)
Usa le formule e proprietà della trasformata di Laplace per trovare la trasformata di Laplace inversa di \( I(s) \) come
Per \( t \ge 0 \), \( v_i (t) = V_0 \) e abbiamo quanto segue
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{\omega L} \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} - V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)

Applicazioni Numeriche - Esempio 1 - Circuito Sovraammortizzato
Sia \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 10 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) e \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 156.25 \)
Pertanto \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; il circuito è sovraammortizzato
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2 \times 0.4} = 12.50 \)
\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{ 2 L}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{10}{2 \times 0.4}\right)^2} = 223.26 \)
\( i(t) = \dfrac{1}{223.26 \times 0.4} \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
Semplifica
\( i(t) = 0.011 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
Le tensioni possono essere calcolate come segue
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 0.11198 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
\( v_L(t) = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \left\{ \cos \left(223.26t\right) - 0.0559875 \sin (223.26t ) \right\}e^{-12.5t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - \left\{ \cos (223.26t) + 0.055988 \sin (223.26t) \right\} e^{-12.5t} \)
Puoi utilizzare il calcolatore per la risposta a gradino di un circuito RLC in serie per verificare tutti i calcoli sopra.

Caso 2: \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : Il circuito è sovrasmorzato

Sia \( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) e riscrivi \( I(s) \) come
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\beta L} \times \dfrac{\beta}{ \left(s + \alpha \right)^2 - \beta^2 } \)
Usa le formule e proprietà della trasformata di Laplace per trovare la trasformata di Laplace inversa di \( I(s) \) come
Per \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) e abbiamo quanto segue
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \left\{ \dfrac{e^{\beta t} - e^{\beta t}} {2} \right\} \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} - \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)

Applicazioni Numeriche - Esempio 2 - Circuito Sovrasmorzato
Sia \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 200 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) e \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 62500 \)
Pertanto \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; il circuito è sovrasmorzato
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{200}{2 \times 0.4} = 250 \)
\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L} - \dfrac{1}{L C}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{200}{2 \times 0.4}\right)^2} = 111.80339 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 0.01118 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\(\quad \quad = 2.23613 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)

\( v_L (t) = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = -0.617754 e^{ -138.2 t} + 1.617246 e^{ -361.8 t} \)

\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 1 - 1.61806 e^{ -138.2 t} + 0.61806 e^{-361.8 t} \)
Puoi utilizzare il calcolatore per risposta a gradino di un circuito RLC in serie per verificare tutti i calcoli sopra.

Caso 3: \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : Il circuito è criticamente smorzato

\( I(s) \) si semplifica a
\( I(s) = \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2} \dfrac{V_0}{L} \)
Usa le formule e proprietà della trasformata di Laplace per trovare la trasformata di Laplace inversa di \( I(s) \) come
Per \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) e abbiamo quanto segue
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left( 1 - \alpha t \right) e^{-at} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} - V_0 e^{-at} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)

Applicazioni Numeriche - Esempio 3 - Circuito Criticamente Smorzato
Sia \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 100 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) e \( C = 160 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 15625\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 15625 \)
Pertanto \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; il circuito è criticamente smorzato
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{100}{2 \times 0.4} = 125 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( i(t) = 2.5 \; t \; e^{- 125 t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\(\quad \quad = 250 e^{ - 125 t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( 1 - \alpha t ) e^{-at} \)
\( \quad \quad = (1 - 125) e^{ - 125 t} \)
\(v_C (t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - (1 + 125) e^{ - 125 t} \)
Puoi utilizzare il calcolatore per risposta a gradino di un circuito RLC in serie per verificare tutti i calcoli sopra.

Altre Referenze e Link