Trovare e graficare le tensioni attraverso il condensatore \( C \) e la resistenza \( R \) e la corrente \( i \) in funzione del tempo nel circuito qui sotto
Fig.1 - Circuito Low Pass RC
dato che la tensione in ingresso \( v_i(t) \) è un'onda quadra come mostrato nel grafico qui sotto.
Fig.2 - Onda Quadra come Ingresso al Circuito RCSoluzione al Problema
L'equazione, nel dominio \( s \), che lega la tensione \( V_C(s) \) attraverso il condensatore e la tensione in ingresso \( V_i(s) \) in un circuito RC è già stata determinata.
\( V_i(s) - R \; C \; s \; V_C(s) - V_C(s) = 0 \) (I)
Dobbiamo ora determinare la trasformata di Laplace \( V_i(s) \) dell'onda quadra \( v_i(t) \).
Esprimiamo prima l'onda quadra come somma di funzioni di step spostate come segue
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
Prendiamo la trasformata di Laplace di entrambi i lati di quanto sopra e utilizziamo la proprietà di linearità della trasformata di Laplace per scrivere
\( \displaystyle \mathscr{L} \{ v_i (t) \} = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L} \{ u(t - n\;T) \} - \mathscr{L} \{ u (t-(n+1/2)\;T) \} \right\} \)
La trasformata di Laplace di una funzione di step spostata della forma \( u(t - \alpha) \) è data da
\( \dfrac{e^{-\alpha s }}{s} \)
Usiamo quanto sopra per scrivere la trasformata di Laplace \( V_i(s) = \mathscr{L} \{ v_i (t) \} \) come
\( \displaystyle V_i(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} \)
Sostituisci \( V_i(s) \) nell'equazione (i) con l'espressione sopra e risolvi per \( V_C(s) \) e metti tutti i termini con \( V_C(s) \) a destra
\( \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} = R \; C \; s \; V_C(s) + V_C(s) \)
Risolviamo per \( V_C(s) \)
\( \displaystyle V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T s} \right\} \) (II)
Decomponi l'espressione razionale \( \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \) in frazioni parziali (vedi Appendice - A ) e riscrivila come
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Dividi numeratore e denominatore nel termine a destra per \( R\;C \) e fattorizza \( V_0 \) e riscrivilo come
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Sostituisci quanto sopra nell'espressione di \( V_C(s) \) data in (II) per scrivere \( V_C(s) \) come
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T \; s} \right\} \)
Il sopra può essere scritto come
Usiamo ora le formule e le proprietà della trasformata di Laplace per trovare la trasformata di Laplace inversa \( v_C(t) \) (dominio del tempo) di \( V_C(s) \)
Dobbiamo applicare la trasformata di Laplace inversa per trovare \( v_C(t) \) da \( V_C(s) \)
\( \displaystyle v_C(t) = \mathscr{L^{-1}} \left\{ V_c(s) \right\} \)
\( \displaystyle = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\}
\\\\
\quad \quad \quad \quad - \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-(n+1/2)\;T \; s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \right\} \)
I due principali termini tra le parentesi graffe possono essere scritti come
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) \)
La proprietà 2 in proprietà della trasformata di Laplace può essere scritta come
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) = u(t- \tau) f(t - \tau) \) , dove \( f(t) \) è la trasformata di Laplace inversa di \( F(s) \)
Usiamo ora le formule della trasformata di Laplace per valutare
\( \displaystyle \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( \displaystyle = \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( = u(t) - u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} = u(t)(1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \)
Utilizzando tutto quanto sopra, scriviamo ora \( v_C(t) \) come
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
Applicazioni Numeriche
Sia \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) e \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (secondi)
Di seguito sono mostrati i grafici dell'ingresso \(v_i(t) \) come onda quadra definita sopra come somma di funzioni di step spostate e la tensione \( v_C(t) \) attraverso il condensatore anche sopra. Ci sono quattro grafici per valori diversi del periodo \( T \) dell'onda quadra in ingresso.
a) \( T = 15 RC = 15 \) s
Fig.3 - Grafici dell'onda quadra in ingresso e della tensione v_C(t) attraverso il condensatore per un periodo T = 15 RC
b) \( T = 10 RC = 10 \) s
Fig.4 - Grafici dell'onda quadra in ingresso e della tensione v_C(t) attraverso il condensatore per un periodo T = 10 RC
c) \( T = 5 RC = 5 \) s
Fig.5 - Grafici dell'onda quadra in ingresso e della tensione v_C(t) attraverso il condensatore per un periodo T = 5 RC
d) \( T = 2 RC = 2 \) s
Fig.6 - Grafici dell'onda quadra in ingresso e della tensione v_C(t) attraverso il condensatore per un periodo T = 2 RC
