Risposta del circuito RC a una tensione a gradino

Tabella dei Contenuti

L'uso delle trasformate di Laplace per studiare la risposta dei circuiti RC a variazioni rapide della tensione di ingresso e delle correnti viene presentato in forma di esempi con soluzioni dettagliate. Mostriamo anche come modellare matematicamente i processi di carica e scarica di un condensatore. È incluso anche un calcolatore online per calcolare le espressioni di tensioni e correnti.

Problemi con Soluzioni

Problema 1 Carica di un condensatore
Trova e traccia le tensioni attraverso il condensatore \( C \) e la resistenza \( R \) e la corrente \( i \) in funzione del tempo nel circuito sottostante dato che la tensione di ingresso è \( v_i = V_0 \; u(t) \), dove \( V_0 = 10 \) V è una costante e \( u(t) \) è la funzione gradino unitario. Le resistenze sono \( R = 200 \; \Omega \) e \( C = 5 \) mF. A \( t = 0 \), la tensione attraverso il condensatore è uguale a zero.

Soluzione al Problema 1
Usa la legge delle tensioni di Kirchhoff per scrivere
\( v_i(t) - v_R(t) - v_C(t) = 0 \)       (I)
Usa la legge di Ohm per scrivere
\( v_R(t) = R \; i(t) \)
La relazione tra tensione e corrente di carica di un condensatore è data da
\( \displaystyle v_C (t) = \dfrac{1}{C} \int i dt \)
Prendi la derivata di entrambi i lati del precedente e riscrivi come
\( i (t) = C \dfrac{d v_C}{dt} \)
\(v_R (t) = R i (t) = R C \dfrac{v_C}{dt} \)
Quindi l'equazione (I) può essere scritta come
\( v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) = 0 \)
Prendi la trasformata di Laplace di entrambi i lati dell'equazione precedente
\( \mathscr{L} \left \{ v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Usa la proprietà di linearità della trasformata di Laplace e anche il fatto che \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) per riscrivere il precedente come
\( \mathscr{L} \left\{ v_i (t) \right\} - R\;C \mathscr{L} \left \{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} - \mathscr{L} \left\{ v_C (t) \right \} = 0 \)       (II)
Sia \( \mathscr{L}\{ v_i (t) \} = V_i(s) \) e \( \mathscr{L}\{ v_C (t) \} = V_C(s) \)
Usa la proprietà della derivata rispetto al tempo \( t \) per riscrivere (vedi formule e proprietà della trasformata di Laplace)
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} = s V_C(s) - v_C(0) \)
Dato che a \( t = 0 \), la tensione attraverso il condensatore è uguale a zero, abbiamo \( v_C(0) = 0 \) , l'equazione (II) può essere scritta come
\( V_i(s) - R C s V_C(s) - V_C(s) = 0 \)
NOTA che abbiamo trasformato la nostra equazione differenziale iniziale dal dominio del tempo \( t \) al dominio \( s \).
La trasformata di Laplace \( V_i(s) \) di \( v_i(t) = V_0 u(t) \) è data da (vedi formule e proprietà della trasformata di Laplace)
\( V_i(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
L'equazione nel dominio \( s \) diventa
\( R C s V_C(s) + V_C(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
Fattorizza \( V_C(s) \) sul lato sinistro
\( V_C(s) (R\;C\;s + 1) = \dfrac{V_0}{s} \)
Risolvi per \( V_C(s)\) per ottenere
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} \)
Decomponi quanto sopra in frazioni parziali per riscrivere quanto sopra come ( vedi Appendice A in fondo alla pagina per i calcoli dettagliati).
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Dividi numeratore e denominatore nel secondo termine sul lato destro dell'equazione precedente per \( R\;C \) e factorizza \( V_0 \) per riscrivere \( V_C(s) \) come
\( V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Ora usiamo le formule e proprietà della trasformata di Laplace per trovare la trasformata di Laplace inversa \( v_C(t) \) (dominio del tempo) di \( V_C(s) \)
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} = u(t) \)
e
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} = u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Pertanto
\( v_C(t) = V_0 (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) u(t) \)
La tensione \( v_R(t) \) attraverso la resistenza è data da
\( v_R (t) = v_i - v_C = V_0 u(t) - V_0 u(t) (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) = V_0 e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
La corrente \( i(t) \) è data da
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
Note: La tensione \( v_C(t) \) attraverso il condensatore aumenta nel tempo secondo una funzione esponenziale naturale \( e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \) e quindi il parametro \( R\;C \) è chiamato la costante di tempo.

Applicazioni Numeriche
Sia \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) e \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (secondi)
\( v_C(t) = 10 (1 - e^{-t} ) u(t) \) V
\( v_R (t) = 10 e^{-t} u(t) \) V
\( i(t) = 0.05 e^{-t} u(t) \) A
I grafici della corrente e delle tensioni sono mostrati di seguito.
Nota quanto segue a \( t = 0 \):
1) Poiché il condensatore non è stato caricato prima di \( t = 0 \), la tensione \( v_C(0) \) attraverso il condensatore è uguale a zero e il condensatore si comporta come un cortocircuito a \( t = 0 \). \( v_C(t) \) inizia ad aumentare man mano che \( t \) aumenta e ciò spiega il processo di carica del condensatore.
2) la tensione \( v_R (0) \) attraverso la resistenza è uguale alla tensione di sorgente \( 10 \) V e inizia a diminuire man mano che \( t \) aumenta.
3) La corrente \( i(0) \) è al suo valore massimo \( \dfrac{v_i(0) - v_C(0)}{R} = \dfrac{10 - 0}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A e diminuisce man mano che \( t \) aumenta.
Nota quanto segue quando \( t \) è grande:
\( v_C(t) \) è quasi uguale a \( v_i(t) \) il che significa che il condensatore è completamente caricato. La corrente \( i(t) \) è quasi zero perché il condensatore si comporta come un circuito aperto .

Problema 2 Scarica un condensatore
Il condensatore \( C \) nel circuito qui sotto è inizialmente caricato a \( V_0 = 10 \) Volt. A \( t = 0 \) l'interruttore S nel circuito è chiuso. Trova e traccia le tensioni attraverso il condensatore \( C \) e la resistenza \( R \), e la corrente \( i \) come funzioni del tempo \( t \).

Soluzione al Problema 2
Usa la legge delle tensioni di Kirchhoff per scrivere
\( v_C(t) - v_R (t) = 0 \)       (I)
Usa la legge di Ohm per scrivere
\( v_R (t) = R \; i (t) \)
La relazione tra la tensione attraverso un condensatore e la corrente attraverso di esso è la seguente:
Sia \( Q_0 \) la carica iniziale del condensatore a \(t=0\). Poiché il condensatore si sta scaricando, la carica totale diminuirà e sarà scritta come
\( \displaystyle Q(t) = Q_0 - \int_0^{t} i(\tau) d\tau \)
La tensione \( v_C(t) \) attraverso il condensatore è data da
\( v_C(t) = \dfrac{Q(t)}{C} = \dfrac{Q_0}{C} - \dfrac{ \displaystyle \int i dt \ }{C } \)
Prendi la derivata del lato sinistro e del lato destro
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d (Q_0 - \displaystyle \int i dt) }{d t } \)
Usa la linearità della derivata per scrivere
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d Q_0}{dt} - \dfrac{1}{C} \dfrac{d(\displaystyle \int i dt) }{d t } \)
\( Q_0 \) è una costante e la sua derivata è uguale a zero, quindi quanto sopra si semplifica a
\( \dfrac{d v_C}{d t } = - \dfrac{1}{C} i \)
che può essere scritto come
\( i(t) = - C \; \dfrac{v_C}{dt} \)     NOTA il segno meno è dovuto al fatto che il condensatore si sta scaricando.
Sostituisci \( i(t) \) in \( v_R (t) \) sopra per ottenere
\(v_R (t) = R \; i (t) = - R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \)
Quindi l'equazione (I) può essere scritta come
\( v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} = 0 \)
Prendi la trasformata di Laplace di entrambi i lati dell'equazione precedente
\( \mathscr{L} \left \{ v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Usa la proprietà della linearità della trasformata di Laplace e anche il fatto che \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) per riscrivere quanto sopra come
\( \mathscr{L} \left\{ v_C(t) \right \} + R\;C\;\mathscr{L} \left\{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = 0 \)       (II)
Sia \( \mathscr{L}\{ v_C(t) \} = V_C(s) \)
Usa la proprietà della derivata rispetto al tempo \( t \) per scrivere (vedi formule e proprietà della trasformata di Laplace)
\( \mathscr{L} \left \{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = s \; V_C(s) - v_C(0) \)
Dato che a \( t = 0 \), il condensatore è caricato e la sua tensione è uguale a \( V_0 \), abbiamo quindi \( v_C(0) = V_0 \) ; e sostituendo nell'equazione (II) otteniamo
\( V_C(s) + R \; C \; ( s \; V_C(s) - V_0 ) = 0 \)
Riscrivi l'equazione precedente come
\( V_C(s) \; (R\;C\;s + 1) = R \; C \; V_0 \)
Risolvi per \( V_C(s)\) per ottenere
\( V_C(s) = \dfrac{R \; C \; V_0}{R \; C \; s + 1} \)
Dividi numeratore e denominatore per \( R \; C \)
\( V_C(s) = \dfrac{ V_0}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \)
\( v_C(t) \) è data dalla trasform ata inversa di Laplace; quindi
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
Usiamo ora le formule e proprietà della trasformata di Laplace per trovare l'inversa della trasformata di Laplace \( v_C(t) \) (dominio del tempo) di \( V_C(s) \)
Quindi
\( v_C(t) = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
La tensione \( v_R(t) \) attraverso la resistenza è data da
\( v_R (t) = v_C = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
La corrente \( i(t) \) è data da
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Applicazioni numeriche: \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) e \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (secondi)
\( v_C(t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( v_R (t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( i(t) = 0.05 \; e^{-t} \) A
I grafici della corrente e delle tensioni sono mostrati di seguito.
Nota quanto segue a \( t = 0 \):
1) Poiché il condensatore è stato caricato prima di \( t = 0 \) alla tensione \( v_C(0) = 10 \) Volt, inizia a diminuire man mano che \( t \) aumenta e questo spiega il processo di scarica del condensatore.
2) A \( t = 0 \); \( v_R (0) = v_C(0) = 10\).
3) A \( t = 0\), la corrente \( i(0) \) è al suo massimo dato da \( i(0) = \dfrac{v_R(0)}{R} = \dfrac{10}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A e inizia a diminuire man mano che \( t \) aumenta.
Nota quanto segue quando \( t \) è grande:
A valori elevati di \( t \), tutte le tensioni e la corrente sono quasi uguali a zero perché il condensatore si è completamente scaricato e l'energia che era immagazzinata nel condensatore viene dissipata come calore dalla resistenza \( R \).

Appendice

Appendice A

Espandi in frazioni parziali; trova \( A \) e \( B \) in modo che
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{R\;C s + 1} \)
Moltiplica tutti i termini di quanto sopra per \( s(R\;C s + 1) \) e semplifica
\( V_0 = A(R\;C\;s + 1) + B s \)      (1)
Imposta \( s = 0 \) nell'equazione (1) per ottenere
\( A = V_0 \)
Imposta \( A = V_0 \) e \( s = 1 \) nell'equazione (1)
\( V_0 = V_0 \times (R\;C \times 1 + 1) + B \times 1 \)
Semplifica e risolvi per \( B \)
\( B = - R\;C V_0 \)
Quindi la decomposizione in frazioni parziali
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)

Altri Riferimenti e Link