La funzione delta di Dirac \( \delta(t) \) e la funzione gradino unitario di Heaviside \( u(t) \) sono presentate insieme a esempi e soluzioni dettagliate. Queste due funzioni sono utilizzate nella modellizzazione matematica di vari sistemi ingegneristici. Sono inclusi alcuni esempi nella modellizzazione delle risposte dei circuiti elettrici a tensioni di gradino unitario.
\( \)\( \)\( \)
Funzione Gradino di Heaviside \( u(t) \)
La funzione gradino unitario di Heaviside scritta come \( u(t) \) (anche chiamata funzione di Heaviside e scritta come \( H(t) \) ) è definita come segue
\(
u(t) =
\begin{cases}
0 & \text{per } t \lt 0 \\
1 & \text{per } t \ge 0 \\
\end{cases}
\)
Fig.1 - Grafico della Funzione Gradino Unitario
che porta quindi a
\( u(t - t_0) =
\begin{cases}
0, & \text{per } t \lt t_0 \\
1, & \text{per } t \ge t_0 \\
\end{cases}
\)
Uno dei principali usi della funzione gradino è modellare un interruttore, ad esempio.
Supponiamo di dover applicare una tensione \( v(t) \) a un circuito al tempo \( t = t_0 \), la tensione in funzione del tempo può essere rappresentata da \( v(t) u(t-t_0) \) in modo che
\( v(t) u(t-t_0)
\begin{cases} v(t) &\mbox{se } t \ge t_0 \\
0 & \mbox{se } t \lt t_0 \end{cases}
\)
Un esempio, il grafico di \( t^2 u(t-1) \) è mostrato di seguito.
Fig.2 - Funzione Gradino Utilizzata per Modellare un Interruttore
Le somme e le sottrazioni delle funzioni gradino possono essere utilizzate per modellare impulsi; di seguito è mostrato un esempio.
Fig.3 - Funzione Gradino Utilizzata per Modellare un Impulso
Funzione Delta di Dirac \( \delta(t) \)
La funzione delta di Dirac è definita dall'integrale
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{t} \delta (\tau - t_0) d\tau = u(t - t_0) \)
Anche se la funzione gradino unitario \( u(t - t_0) \) è discontinua in \( t = t_0 \), possiamo definire la derivata della funzione gradino mediante la funzione delta di Dirac come segue
\( \dfrac{d u(t - t_0)}{dt} = \delta (t - t_0) \)
che può assumere un valore "molto grande" in \( t = t_0 \) e quindi la funzione delta di Dirac può anche essere vista come
\( \delta(t - t_0) =
\begin{cases}
\infty & \text{per } t = t_0 \\
0 & \text{per } t \ne t_0 \\
\end{cases}
\)
La funzione delta di Dirac definisce la derivata in una discontinuità finita; di seguito è mostrato un esempio.
Fig.4 - Relazione Grafica tra Funzione Delta di Dirac e Funzione Gradino Unitario
La funzione delta di Dirac ha le seguenti proprietà:
\( \delta(t - t_0) \) è uguale a zero ovunque tranne che in \( t = t_0 \) quindi le proprietà 1, 2 e 3.
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = f(t_0) \) se \( a \lt t_0 \lt b \) ( o \( t_0 \) è all'interno dell'intervallo di integrazione ).
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = 0 \) se \( t_0 \gt b \) or \( t_0 \lt a \) ( o \( t_0 \) è al di fuori dell'intervallo di integrazione ).
\( \delta( k t) = \dfrac{1}{|k|} \delta(t) \) per \( k \ne 0 \)
Esempi con Soluzioni
Esempio 1
Valutare gli integrali:
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt \) b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt \) d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt \) e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt \)
Soluzione per l'Esempio 1
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \) applicando la proprietà 1 sopra poiché \( -\infty \lt 0 \lt \infty \)
b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \) applicando la proprietà 1 sopra poiché \( -\infty \lt 4 \lt \infty \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\) applicando la proprietà 1 sopra poiché \( 0^- \lt 0 \lt \infty \)
d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \) applicando la proprietà 2 sopra poiché \( - 3 \lt 0 \) o \( -3 \) è al di fuori dell'intervallo di integrazione.
e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \) applicando la proprietà 2 sopra poiché \( 0 \lt 0^+ \) o \( 0 \) è al di fuori dell'intervallo di integrazione.
Esempio 2
Valutare le derivate di:
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \) b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)
Soluzione per l'Esempio 2
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)
Esempio 3
Utilizzare la funzione gradino \( u(t) \) per scrivere le equazioni ai grafici mostrati di seguito e le loro derivate.
a)
b)
c)
d)
Soluzione per l'Esempio 3
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \)
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \)
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \)
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\)
b)
c)
d)
