La funzione di errore \( \text{Erf} \; (x) \) è definita dall'integrale [4]
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \]
I programmi per computer, in diversi linguaggi, possono essere facilmente sviluppati per calcolare \( \text{Erf} \; (x) \).
Una tabella dei valori di \( \text{Erf} (x) \) nell'intervallo \( x \in [-3 \; , \; 3] \) è stata creata utilizzando Google Sheets ed è presentata di seguito insieme al suo grafico. (potrebbe essere necessario scorrere verso il basso).
Dalla definizione e dal grafico, possiamo dire che \( \text{Erf} \; (x) \) è una funzione dispari e quindi
La funzione di densità normale di una variabile casuale \( X \) con media \( \mu \) e deviazione standard \( \sigma \) è data da [1] [2] [3] [4].
\[ f_{X}(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{x -\mu}{\sigma} \right)^2 } \qquad (I) \]
il cui grafico è mostrato di seguito.
Sviluppiamo ora la relazione tra la funzione di distribuzione cumulativa per una distribuzione normale definita sopra e data da
\[ F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{x} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{t -\mu}{\sigma} \right)^2 } dt \qquad (III) \]
e la funzione di errore definita da
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \qquad (IV) \]
Sia \( z = \dfrac{t-\mu}{\sigma \sqrt 2} \) e quindi \( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} \) o \( dz = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} dt \)
Sostituisci quanto sopra in \( (III) \) e scrivi
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \int_{-\infty}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \]
Dividi l'intervallo di integrazione e scrivi \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) come segue
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \int_{-\infty}^{0} \; e^{-z^2 } dz + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
Usiamo ora l'integrale gaussiano integrale gaussiano che è dato da
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]
e poiché \( e^{-x^2} \) è una funzione pari, abbiamo
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \]
Usa l'integrale gaussiano per scrivere
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt {\pi}}{2}\]
Sostituisci in \( \qquad (V) \) e scrivi
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
Utilizzando \( (IV) \) , scriviamo \( \displaystyle \int_0^{\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right)} \; e^{-t^2} \; dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \) che sostituiamo in \( (V) \) sopra per scrivere
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right) \qquad (V) \]
Semplifica e scrivi la relazione tra \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) e \( \text{Erf} \; (x) \) come segue:
\[ \boxed {\displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{2 } \left( 1 + \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right)} \]
Quindi la funzione cumulativa della distribuzione normale \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) può essere calcolata utilizzando la funzione di errore \( \text{Erf} (x) \).