Viene presentato un calcolatore interattivo per risolvere le equazioni differenziali del secondo ordine, con coefficienti costanti.
Un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea con coefficienti costanti \( a \), \( b \) e \( c \) ha la forma generale [1] , [2] , [3] :
\[
a \frac{d^2y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + c y = 0
\]
Per risolvere questa equazione differenziale usando l'equazione ausiliaria (o equazione caratteristica), si trovano prima le radici dell'equazione ausiliaria, ottenuta assumendo una soluzione della forma \( y(t) = e^{rt} \), da cui \( y'(t) = r e^{rt} \) e \( y''(t) = r^2 e^{rt} \).
Sostituendo \( y(t) \), \( y'(t)\) e \( y''(t) \) nell'equazione differenziale e fattorizzando come segue
\[
(a r^2 + b r + c) e^{rt} = 0
\]
Poiché \( e^{rt} \) non può essere uguale a zero, si ottiene l'equazione ausiliaria corrispondente all'equazione differenziale:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
1. Scrivi l'equazione ausiliaria:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
La natura delle radici dell'equazione ausiliaria determina il comportamento delle soluzioni:
Sia \( \Delta = b^2 - 4 \; a \; c \)
1 - Se \( \Delta > 0 \) , le radici
\( r_1 = \dfrac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a} \) e \( r_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a}\)
sono reali e distinte. La soluzione generale coinvolge funzioni esponenziali come segue.
\[
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
\]
dove \( C_1 \) e \( C_2 \) sono costanti da determinare utilizzando le condizioni iniziali.
2 - Se \( \Delta = 0 \) , le radici \( r_1 \) e \( r_2 \) sono reali e uguali a \( -\dfrac{b}{2 \; a} \). La soluzione generale coinvolge una funzione lineare in \( t \) moltiplicata per una funzione esponenziale.
\[
y(t) = ( C_1 + C_2 \; t ) e^{r_1 t}
\]
e \( C_1 \) e \( C_2 \) sono costanti determinate dalle condizioni iniziali o di contorno.
3 - Se \( \Delta \lt 0 \) , le radici \( r_1 \) e \( r_2 \) sono complesse coniugate della forma
\( r_1 = \dfrac{- b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a} \) e \( r_2 = \dfrac{- b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a }\)
La soluzione generale dell'equazione differenziale coinvolge funzioni seno e coseno come segue.
\[
y(t) = e^{\alpha \; t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta \; t) \right)
\]
dove
\( \alpha = \dfrac{- b }{2 \;a} \) e \( \beta = \dfrac{ \sqrt{4 a c - b^2} }{2 \;a} \)
e \( C_1 \) e \( C_2 \) sono costanti determinate dalle condizioni iniziali o di contorno.
Inserisci i coefficienti \( a, b , c \) e le condizioni iniziali \( y(0) \) e \( y'(0) \) come numeri reali e premi "Risolvi".
Soluzione