Derivate Parziali di Secondo e di Ordine Superiore
Indice dei Contenuti
I calcoli delle derivate parziali di primo, secondo e di ordine superiore parziali vengono presentati con esempi e relative soluzioni, inclusi i passaggi dettagliati dei calcoli. Il teorema di Clairaut sull'uguaglianza delle derivate miste sotto certe condizioni di continuità viene verificato attraverso esempi.
Le derivate parziali di secondo e di ordine superiore sono essenzialmente le derivate delle funzioni di più variabili prese più volte rispetto a una o più variabili.
Derivate Parziali di Primo Ordine
Data una funzione \(f(x, y)\), le derivate parziali di primo ordine sono:
Rispetto a \(x\): \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\)
Rispetto a \(y\): \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)
Derivate Parziali di Secondo Ordine
Una volta ottenute le derivate di primo ordine, possiamo differenziarle nuovamente per ottenere le derivate di secondo ordine, che sono:
Rispetto a \(x\) due volte: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)
Rispetto a \(y\) due volte: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
Rispetto a \(x\) e poi \(y\): \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
Rispetto a \(y\) e poi \(x\): \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)
Derivate Parziali di Ordine Superiore
Allo stesso modo, possiamo continuare a derivare per ottenere derivate parziali di ordine superiore. Ad esempio, la derivata parziale di terzo ordine di \(f\) rispetto a \(x\) due volte e poi \(y\) una volta sarebbe denotata come \(\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2}\).
Esempi con Soluzioni
Esempio 1
Calcolare le derivate parziali di primo e secondo ordine di
\[f(x, y) = x^2y + 3xy^2\]
Soluzione dell'Esempio 1 con Passaggi Dettagliati
1. Derivate Parziali di Primo Ordine
a. Derivare \(f\) rispetto a \(x\):
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2) \\\\ = 2xy + 3y^2 \]
b. Derivare \(f\) rispetto a \(y\):
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2) \\\\ = x^2 + 6xy \]
2. Derivate Parziali di Secondo Ordine
a. Derivare \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) rispetto a \(x\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy + 3y^2) = 2y \]
b. Derivare \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) rispetto a \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 + 6xy) = 6x \]
c. Derivare \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) rispetto a \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\= \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy + 3y^2) = 2x + 6y \]
d. Derivare \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) rispetto a \(x\) (dovrebbe dare lo stesso risultato del passo 3 grazie alla simmetria, se le derivate miste della funzione sono continue):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 + 6xy) = 2x + 6y \]
Notare che \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), il che illustra
il teorema di Clairaut sull'uguaglianza delle derivate miste sotto certe condizioni di continuità.
Esempio 2
Calcolare le derivate parziali di primo e secondo ordine della funzione
\[g(x, y) = e^{xy} + \sin(x)y^2 \] .
Soluzione dell'Esempio 2 con Passaggi Dettagliati
1. Derivate Parziali di Primo Ordine
a. Derivare \(g\) rispetto a \(x\):
\[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \\\\= ye^{xy} + \cos(x)y^2 \]
b. Derivare \(g\) rispetto a \(y\):
\[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \\\\= xe^{xy} + 2y\sin(x) \]
2. Derivate Parziali di Secondo Ordine
a. Derivare \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\) rispetto a \(x\):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\=\dfrac{\partial}{\partial x}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= y^2e^{xy} - y^2\sin(x) \]
Questo passaggio implica l'applicazione della regola del prodotto per la derivazione di entrambi i termini separatamente.
b. Derivare \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) rispetto a \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= x^2e^{xy} + 2\sin(x) \]
Anche in questo caso, la regola del prodotto viene applicata, concentrandosi su come il termine esponenziale e il termine seno cambiano rispetto a \(y\).
c. Derivare \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\) rispetto a \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
d. Derivare \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) rispetto a \(x\) (ancora una volta, il risultato è lo stesso del passo 3 grazie alla simmetria e alla continuità delle derivate miste):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ =
\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
L'uguaglianza \(\dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\) illustra
il teorema di Clairaut sull'uguaglianza delle derivate miste sotto certe condizioni di continuità.
Esempio 3
Calcolare la derivata parziale di primo, di secondo e due derivate parziali di terzo ordine \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} \) e \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} \) della funzione \( f \) definita da
\[ f(x, y) = x^3y^2 + x^2e^y \].
Soluzione dell'Esempio 3 con Passaggi Dettagliati
1. Derivate Parziali di Primo Ordine
a. Rispetto a \(x\):
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2e^y) \\\\= 3x^2y^2 + 2xe^y \]
b. Rispetto a \(y\)
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2e^y) \\\\= 2x^3y + x^2e^y \]
2. Derivate Parziali di Secondo Ordine
a. Rispetto a \(x\) due volte:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\= 6xy^2 + 2e^y \]
b. Rispetto a \(y\) due volte:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 2x^3 + x^2e^y \]
c. Rispetto a \(x\) poi \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\ = 6x^2y + 2xe^y \]
d. Rispetto a \(y\) poi \(x\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 6x^2y + 2xe^y \]
Anche in questo esempio abbiamo l'uguaglianza \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), il che illustra
il teorema di Clairaut sull'uguaglianza delle derivate miste sotto certe condizioni di continuità.
3. Derivate Parziali di Terzo Ordine
a. Rispetto a \(x\) due volte, poi \(y\):
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(6xy^2 + 2e^y) = 12 x y + 2 e^y \]
b. Rispetto a \(x\), poi \(y\), poi ancora \(x\):
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(6x^2y + 2xe^y) = 12xy + 2e^y \]
Teorema di Clairaut
Il teorema di Clairaut, noto anche come l'uguaglianza delle derivate parziali miste, afferma che se una funzione \( f(x, y) \) ha derivate parziali seconde continue in una regione aperta contenente un punto \( (a, b) \), allora l'ordine di differenziazione delle derivate parziali miste in quel punto non influisce sul risultato. In altre parole:
\[
\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}}
\]
Ecco un semplice esempio che illustra il teorema di Clairaut:
Consideriamo la funzione \( f(x, y) = x^2y + y^3 \).
Per prima cosa, troviamo le derivate parziali miste:
1. Trova \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \):
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2xy \]
2. Trova \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \):
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} = x^2 + 3y^2 \]
Ora, calcoliamo le derivate parziali miste:
1. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} \):
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2 + 3y^2) = 2x \]
2. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \):
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} (2xy) = 2x \]
Secondo il teorema di Clairaut, poiché entrambe le derivate parziali miste sono continue e uguali, abbiamo \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \).
Altri Link e Riferimenti
Derivate Parziali di Funzioni Multivariabili
Funzioni di Più Variabili