Derivate Parziali delle Funzioni Multivariabili
Indice dei Contenuti
Vengono presentati esempi ed esercizi sul calcolo delle derivate parziali.
Mentre le derivate ordinarie riguardano funzioni di una singola variabile, le derivate parziali sono un tipo di derivata che generalizza il concetto di derivate ordinarie a funzioni multivariabili.
Formalmente, la derivata parziale di una funzione \( f(x_1, x_2, ..., x_n) \) rispetto a una delle sue variabili, ad esempio \( x_i \), è denotata da \( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \). Essa rappresenta la velocità di variazione della funzione \( f \) rispetto alla variabile \( x_i \), mantenendo tutte le altre variabili costanti.
Matematicamente, la derivata parziale di \( f \) rispetto a \( x_i \) è definita come:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_1, x_2, ..., x_i + h, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{h} \]
In altre parole, questa definizione afferma che la derivata parziale di \( f \) rispetto a \( x_i \) è il limite del quoziente incrementale quando \( h \) tende a zero, dove \( h \) rappresenta una piccola variazione nella variabile \( x_i \), mentre tutte le altre variabili sono mantenute costanti.
Le derivate parziali ci permettono di analizzare come una funzione cambia rispetto a una delle sue variabili mantenendo le altre fisse.
Quando si calcola la derivata parziale di una funzione \( f(x, y) \) rispetto a \( x \), denotata come \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \), trattiamo \( y \) come una costante.
Allo stesso modo, quando si calcola la derivata parziale di \( f \) rispetto a \( y \), denotata come \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \), trattiamo \( x \) come una costante. Consideriamo solo come \( f \) cambia rispetto alle variazioni in \( y \), mantenendo \( x \) costante.
Questo è il concetto fondamentale alla base delle derivate parziali, che ci consente di analizzare come una funzione cambia rispetto a una variabile mantenendo costanti le altre.
Le derivate parziali sono ampiamente utilizzate nel calcolo, nelle equazioni differenziali, nell'ottimizzazione e in vari campi della scienza e dell'ingegneria, inclusi fisica, economia e ingegneria. Esse giocano un ruolo cruciale nello studio del calcolo multivariabile e nell'analisi di sistemi con più variabili indipendenti. Un calcolatore di derivate parziali è incluso e può essere utilizzato per verificare i calcoli.
Esempi con Soluzioni
Esempio 1
Calcolare le derivate parziali di \( f \) rispetto a \( x \) denotate da \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \) e le derivate parziali di \( f \) rispetto a \( y \) denotate da \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \) dove \( f \) è data da
\[ f(x, y) = 3x^2 + 4xy - y^2 \].
Soluzione dell'Esempio 1
1. Derivata di \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) rispetto a \( x \):
Calcoliamo la derivata parziale di \( f \) rispetto a \( x \), denotata come \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \).
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
Usando la regola della somma, scriviamo
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) \]
NOTA che, quando si calcola la derivata parziale di una funzione \( f(x, y) \) rispetto a \( x \), trattiamo \( y \) come una costante.
Utilizzando la regola della potenza per la derivazione, abbiamo:
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) = 6x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) = 4y\]
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) = 0\]
Pertanto
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y - 0\]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y \].
2. Derivata di \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) rispetto a \( y \):
Calcoliamo ora la derivata parziale di \( f \) rispetto a \( y \), denotata come \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \).
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
Usando la regola della somma, scriviamo
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) \]
NOTA che, quando si calcola la derivata parziale di una funzione \( f(x, y) \) rispetto a \( y \), trattiamo \( x \) come una costante. Utilizzando diverse regole per la derivazione, abbiamo:
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) = 0 \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy)= 4x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y \]
Pertanto
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 + 4x - 2y \]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 4x - 2y\].
Esempio 2
Calcolare le derivate parziali di \( g \) rispetto a \( x \), \( y \) e \( z \), dove \( g \) è data da
\[ g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \].
Soluzione dell'Esempio 2
Per calcolare le derivate parziali di \( g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \) rispetto a \( x \), \( y \) e \( z \), trattiamo ogni variabile come indipendente e deriviamo ogni termine di \( g \) rispetto alla variabile rispettiva mantenendo costanti le altre variabili. Calcoliamo ogni derivata parziale passo dopo passo:
1. Derivata parziale rispetto a \( x \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Utilizzando la regola del prodotto per la derivazione:
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right)
\]
Ora, calcoliamo ogni termine separatamente:
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = y e^{xy}
\]
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
Pertanto, mettendo tutto insieme:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
2. Derivata parziale rispetto a \( y \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Utilizzando la regola del prodotto per la derivazione:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right)
\]
Ora, calcoliamo ogni termine separatamente:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy}
\]
Poiché \( \cos(z) \) non dipende da \( y \), la sua derivata rispetto a \( y \) è zero:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
Pertanto, mettendo tutto insieme:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
3. Derivata parziale rispetto a \( z \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Utilizzando la regola del prodotto per la derivazione:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right)
\]
Ora, calcoliamo ogni termine separatamente:
a. Derivata di \( e^{xy} \) rispetto a \( z \):
Poiché \( e^{xy} \) non dipende da \( z \), la sua derivata rispetto a \( z \) è zero:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) = 0
\]
b. Derivata di \( \cos(z) \) rispetto a \( z \):
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) = -\sin(z)
\]
Pertanto, mettendo tutto insieme:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
Pertanto, le derivate parziali di \( g \) rispetto a \( x \), \( y \) e \( z \) sono:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
Esercizi con Soluzioni
Trova le derivate parziali delle funzioni
- \( g(u,v) = u^2 \; v^2 + e^{u^2+v^2} \)
- \( f(x,y,z) = \sin (xy )\;\ln (xyz ) \)
- \( h(x,y,z) = \dfrac{z}{x \;y \;z +1} \)
Soluzioni degli Esercizi sopra
-
\( \dfrac{\partial g}{\partial u} = 2 \;u \;v^2 + 2u \; e^{u^2+v^2}\)
\( \dfrac{\partial g}{\partial v} = 2 \;v \;u^2 + 2v \; e^{u^2+v^2}\)
-
\( \dfrac{\partial f}{\partial x} = y \;\cos(xy)\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{x} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial y} = x\;\cos (xy )\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{y} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\sin (xy)}{z} \)
-
\( \dfrac{\partial h}{\partial x} = -\dfrac{y z^2 }{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial y} = -\dfrac{x z^2}{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial z} = \dfrac{1}{\left(zxy+1\right)^2} \)
Altri Link e Riferimenti
Funzioni di Molte Variabili
Derivate Parziali di Secondo e Superiore Ordine