Introduzione alle Equazioni Differenziali
Indice dei Contenuti
Un'equazione differenziale è un'equazione che coinvolge una funzione incognita e la sua derivata [1] , [2] , [3] .
Le equazioni differenziali sono utilizzate per modellare sistemi e altri comportamenti in vari campi della scienza, dell'ingegneria e della matematica.
Ordine di un'Equazione Differenziale
L'ordine dell'equazione è determinato dalla derivata di ordine più alto inclusa nell'equazione differenziale.
Esempi
L'equazione differenziale
\[ \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
è di primo ordine perché la derivata di ordine più alto inclusa è la derivata prima \( \dfrac{dy}{dx} \) di \( y \).
L'equazione differenziale
\[ \dfrac{d^3y}{dx^3} - 5\dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} = 0 \]
è di terzo ordine perché la derivata di ordine più alto inclusa è la derivata terza \( \dfrac{d^3y}{dx^3} \) di \( y \).
L'equazione differenziale
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
è di secondo ordine perché la derivata di ordine più alto inclusa è la derivata seconda \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) di \( y \).
Linearità di un'Equazione Differenziale
Le equazioni differenziali possono essere classificate in base alla loro linearità.
Equazioni Differenziali Lineari
Se la potenza più alta della funzione incognita e delle sue derivate è uguale a 1 e la funzione e le sue derivate non sono moltiplicate tra loro, allora l'equazione differenziale è detta lineare. La forma generale di un'equazione differenziale lineare può essere espressa come:
\[ a_n(x)\dfrac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1(x)\dfrac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x) \]
Qui, \( a_i(x) \) sono funzioni di \( x \), \( y \) è la funzione incognita, e \( g(x) \) è una funzione nota di \( x \).
Esempi
L'equazione differenziale
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2y = 0 \]
è lineare perché la funzione incognita \( y \) e la sua derivata seconda \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) non sono elevate a una potenza maggiore di 1 né moltiplicate tra loro.
L'equazione differenziale
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2 y = 0 \]
è lineare perché la funzione incognita \( y \), la sua derivata seconda \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) e la sua derivata prima \( \dfrac{dy}{dx} \) non sono elevate a una potenza maggiore di 1 né moltiplicate tra loro.
Equazioni Differenziali Non Lineari
Se la funzione incognita o almeno una delle sue derivate è elevata a una potenza maggiore di 1 o sono moltiplicate tra loro, l'equazione differenziale è detta non lineare. Le equazioni differenziali che coinvolgono funzioni non lineari come radici quadrate, logaritmi, esponenziali, trigonometriche o altre funzioni non lineari della funzione incognita o delle sue derivate sono anch'esse non lineari.
Le equazioni differenziali non lineari possono presentare comportamenti complessi e possono essere difficili da risolvere.
Esempi
L'equazione differenziale
\[ \dfrac{dy}{dx} = y^2 + 3 \]
non è lineare perché \( y \) appare elevato alla potenza 2.
L'equazione differenziale
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = e^{y} \]
non è lineare perché \( y \) appare nei termini non lineari \( e^{y} \).
L'equazione differenziale
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \sin(y) \]
non è lineare perché \( y \) appare all'interno di una funzione trigonometrica \( \sin(y) \) che è una funzione non lineare.
Altre Riferimenti e Collegamenti
1 - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
2 - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
3 - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
Calcolatore di Equazioni Differenziali di Secondo Ordine