Viene presentato un calcolatore interattivo che utilizza il metodo di Newton [1] per approssimare le soluzioni di un sistema di due equazioni in due variabili. Approssima le soluzioni, se esistono, e fornisce una tabella di tutti i valori delle iterazioni per scopi educativi.
Metodo di Newton per Sistemi di Equazioni
Il metodo di Newton è un metodo numerico utilizzato per trovare le radici di un'equazione tramite iterazioni a partire da una soluzione iniziale approssimata. Quando si tratta di un sistema di equazioni, il metodo si estende naturalmente considerando la matrice Jacobiana e il suo determinante.
Metodo di Newton per una Variabile
Supponiamo di dover risolvere la seguente equazione:
\[ f(x) = 0 \]
L'espansione di Taylor di \( f(x+\Delta x) \) è data da:
\[ f(x+\Delta x) \approx f(x) + \Delta x f'(x) \]
Ora risolviamo \( f(x+\Delta x) = 0 \) che dà:
\[ f(x) + \Delta x f'(x) = 0 \]
che dà:
\[ \Delta x \approx - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
Supponiamo di conoscere un valore approssimato \( x_n \) della radice dell'equazione, la radice approssimata \( x_{n+1} \) definita da
\[ \Delta x = x_{n+1} - x_n \]
è data da:
\[ x_{n+1} \approx x_{n} - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
Sistema di Equazioni e la Matrice Jacobiana
Consideriamo un sistema di due equazioni in due variabili \( x \) e \( y \):
\[
\begin{align*}
f(x, y) &= 0 \\
g(x, y) &= 0
\end{align*}
\]
La matrice Jacobiana \( J \) del sistema è data da:
\[
J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{bmatrix}
\]
Aggiornamento del Metodo di Newton
Le formule di aggiornamento per il metodo di Newton per un sistema di equazioni sono date da:
\[
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
\Delta y &= \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
quindi:
\[
\begin{aligned}
x_{n+1} &\approx x_n + \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
y_{n+1} &\approx y_n + \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
Dove \( f \) e \( g \) sono le funzioni valutate ai valori attuali \( (x_n, y_n) \).
\( f_x, f_y, g_x, g_y \) sono le derivate parziali di \( f \) e \( g \) rispetto a \( x \) e \( y \), rispettivamente.
\(\text{D} = f_x \cdot g_y - f_y \cdot g_x\) è il determinante della matrice Jacobiana.
Processo Iterativo
Il metodo di Newton aggiorna iterativamente le variabili \( x \) e \( y \) utilizzando le formule sopra indicate fino a quando non viene soddisfatto un criterio di arresto. I criteri di arresto comuni includono:
Tolleranza di convergenza: arresto quando la differenza tra le iterazioni consecutive è inferiore a una certa soglia.
Massimo numero di iterazioni: arresto dopo un massimo numero di iterazioni.
1. Inizializzazione: Inizia con delle stime iniziali per \( x \) e \( y \):
Un modo per ottenere stime iniziali vicine alla soluzione del sistema è quello di tracciare \( f(x,y) \) e \( g(x,y) \), approssimare i loro punti di intersezione e utilizzarli come stime iniziali.
2. Valuta Funzioni e Derivate: Calcola \( f(x, y) \), \( g(x, y) \), e le loro derivate parziali ai valori attuali \( (x, y) \).
3. Calcola il Determinante: Calcola il determinante della matrice Jacobiana.
4. Aggiorna le Variabili: Utilizza le formule di aggiornamento del metodo di Newton per calcolare \( \Delta x \) e \( \Delta y \).
5. Itera: Aggiorna \( x \) e \( y \) utilizzando \( \Delta x \) e \( \Delta y \), e ripeti fino alla convergenza o fino a raggiungere il massimo numero di iterazioni.
6. La tolleranza \( \epsilon \) viene utilizzata per testare il valore assoluto di \( f(x,y) \) e \( g(x,y) \) come segue:
Quando \( |f(x,y)| \lt \epsilon \) e \( |g(x,y)| \lt \epsilon \), il processo di iterazione si ferma.
7. Il calcolatore approssima una soluzione alla volta.
Il metodo di Newton fornisce un modo robusto ed efficiente per approssimare le soluzioni di un sistema di equazioni in due variabili, a condizione che le stime iniziali siano abbastanza vicine alle soluzioni effettive e che le funzioni siano differenziabili nel vicinato delle soluzioni.
Calcolatore
Risultati
Tabella che include i valori di iterazione di \( x, y, f(x,y) \) e \( g(x,y) \).
Iterazione
\( x \)
\( y \)
\( f(x, y) \)
\( g(x, y) \)
Altre Referenze e Link
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
