La Formula di Eulero

Derivazione della Formula di Eulero

La derivazione della formula di Eulero coinvolge concetti di calcolo, serie di potenze e numeri complessi. Consideriamo le serie di potenze delle espansioni della funzione esponenziale \( e^x \), della funzione coseno \( \cos(x) \) e della funzione seno \( \sin(x) \). Le espansioni delle serie di potenze per queste funzioni sono: \[ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots \] \[ \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \] \[ \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots \] Ora, consideriamo cosa accade quando sostituiamo \( ix \) nelle espansioni in serie di \( e^x \): \[ e^{ix} = 1 + ix + \dfrac{(ix)^2}{2!} + \dfrac{(ix)^3}{3!} + \dfrac{(ix)^4}{4!} + \dfrac{(ix)^5}{5!} + \cdots \] \[ = 1 + ix - \dfrac{x^2}{2!} - i\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + i\dfrac{x^5}{5!} - \cdots \] Scriviamo \( e^{ix} \) come un numero complesso nella forma standard \( Re + i Im \): \[ e^{ix} = \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) + i \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \] Si noti che i termini di potenza pari \( \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) \) formano l'espansione in serie di \( \cos(x) \), e i termini di potenza dispari \( \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \) formano l'espansione in serie di \( \sin(x) \). Pertanto, combinandoli, possiamo scrivere: \[ \Large \color{red} {e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)} \]

Identità e Formule Correlate alla Formula di Eulero

L'Identità di Eulero

Quando \( x = \pi \), la formula di Eulero diventa: \[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \] Che può essere scritta come \[ \Large \color{red} { e^{i\pi} + 1 = 0} \] Si noti che l'equazione sopra combina le cinque costanti più importanti della matematica: \( e \), \( \pi \), \( i \), \( 1 \), e \( 0 \).

La Formula di De Moivre

L'estensione della formula di Eulero per qualsiasi potenza intera \( n \): \[ (e^{i x})^n = (\cos(x) + i\sin(x))^n \] Usando la regola esponenziale \[ (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos (n x) + i \sin (n x) \] Quindi la formula di De Moivre \[ \Large \color{red} {(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos (n x) + i \sin (n x)} \] Questa formula è incredibilmente utile per calcolare le potenze dei numeri complessi.

La Formula di Eulero per \( \sin \) e \( \cos \)

Iniziamo con le espansioni di \[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \] e \[ e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x) \] Sommando e sottraendo i lati sinistro e destro, otteniamo \[ e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \] e \[ e^{ix} - e^{-ix} = 2 i\sin(x) \] Risolvendo per \( \cos(x) \) e \( \sin(x) \) otteniamo \[ \Large \color{red} { \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} } \] \[ \Large \color{red} { \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} } \] Queste identità collegano le funzioni trigonometriche \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \) alla funzione esponenziale \( e^{ix} \). Queste identità hanno applicazioni in vari campi della matematica, fisica e ingegneria. Forniscono intuizioni profonde sulle connessioni tra crescita esponenziale, moto periodico e numeri complessi.

Identità Trigonometriche e la Formula di Eulero

Presentiamo un esempio su come usare la formula di Eulero per dimostrare identità trigonometriche.

Esempio

Dimostra l'identità trigonometrica \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

Soluzione

Usa l'identità \( \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \) per scrivere \[ \sin(A+B) = \dfrac{e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)}}{2i} \quad (I)\] Usa la proprietà esponenziale \( e^{x+y} = e^x e^y \) per riscrivere \( e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} \) come \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = e^{iA} e^{iB} - e^{-iA} e^{-iB} \] Ora usiamo la formula di Eulero per espandere i termini sul lato destro \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos (-A) + i \sin(- A))(\cos(- B) + i \sin (-B) )\] Usa le identità \( \cos (-A) = \cos A \) e \( \sin(-A) = - \sin A \) per riscrivere quanto sopra come \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos A - i \sin A)(\cos B - i \sin B) \] Espandi il lato destro e semplifica \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = 2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B \] Sostituisci in (I) sopra per ottenere \[ \sin(A+B) = \dfrac{2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B}{2i} \] Semplifica per ottenere la ben nota formula trigonometrica: \[ \Large \color{red} { \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B } \]