La valutazione dell'integrale gaussiano \( \displaystyle I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) utilizzando gli integrale doppi e le coordinate polari è presentata.
L'integrale gaussiano è definito come segue
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \]
e dobbiamo valutare \( I \).
Notiamo prima di tutto che gli integrali \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) e \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \) hanno valori uguali. Possiamo quindi scrivere che
\( I^2 = \displaystyle \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right) \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \right) \)
Il precedente può essere scritto come un integrale doppio come segue
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy \)
Siano \( x = r \cos \theta \) , \( y = r \sin \theta \) , \( r^2 = x^2 + y^2 \) le relazioni tra le coordinate rettangolari e polari e utilizziamo il cambio di integrale da rettangolare a coordinate polari (I) dato sopra.
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr \;d\theta \)
Nota che \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr = -(1/2) e^{-r^2} \), che dà
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left[-(1/2) e^{-r^2}\right]_0^{\infty} \;d\theta \)
che può essere scritto come
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} (-1/2) \left[e^{-\infty}-e^0 \right] \;d\theta \)
Nota che usando i limiti, \( e^{-\infty} = \lim_{a\to\infty} e^{-a} = 0 \), ora valutiamo
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2} \;d\theta \)
Valuta l'integrale precedente
\( I^2 = \dfrac{1}{2} \left[\theta\right]_0^{2\pi} \)
\( = \dfrac{1}{2} \left[2\pi - 0 \right] \)
\( = \pi \)
Finora abbiamo calcolato \( I^2 = \pi \) e quindi prendendo la radice quadrata, otteniamo
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]