La trasformazione del punto P(x,y,z) ruotato intorno a uno degli assi può essere espressa utilizzando matrici. Le trasformazioni di rotazione sono molto importanti nella grafica computerizzata.
Le coordinate \( (x,y,z) \) del punto P ruotate di un angolo \( \theta_x \) intorno all'asse x, in direzione antioraria, sono trasformate nelle coordinate \( (x',y',z') \) date da: \[ \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ \end{bmatrix} = R_x(\theta_x) \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix} \] dove \( R_x(\theta_x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_x & -\sin\theta_x \\ 0 & \sin\theta_x & \cos\theta_x \end{bmatrix} \)
Le coordinate \( (x,y,z) \) del punto P ruotate di un angolo \( \theta_y \) intorno all'asse y, in direzione antioraria, sono trasformate nelle coordinate \( (x',y',z') \) date da: \[ \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ \end{bmatrix} = R_y(\theta_y) \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix} \] dove \( R_y(\theta_y) = \begin{bmatrix} \cos\theta_y & 0 & \sin\theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta_y & 0 & \cos\theta_y & \\ \end{bmatrix} \)
Le coordinate \( (x,y,z) \) del punto P ruotate di un angolo \( \theta_z \) intorno all'asse z, in direzione antioraria, sono trasformate nelle coordinate \( (x',y',z') \) date da: \[ \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ \end{bmatrix} = R_z(\theta_z) \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix} \] dove \( R_z(\theta_z) = \begin{bmatrix} \cos\theta_z & -\sin\theta_z & 0 \\ \sin\theta_z & \cos\theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \)
Supponiamo che il punto P(x,y,z) sia ruotato di un angolo \( \theta_z \) intorno all'asse z, quindi di un angolo \( \theta_x \) intorno all'asse x e infine di un angolo \( \theta_y \) intorno all'asse y. Le coordinate del punto dopo tutte e tre le rotazioni sono date da \[ \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ \end{bmatrix} = R_y \left( R_x \left(R_z \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix} \right) \right) \] NOTA l'ordine in cui vengono effettuate le rotazioni è importante. Nell'esempio precedente, prima la rotazione z, poi la rotazione x e infine la rotazione y e quindi quando selezioniamo l'Ordine di rotazione: "Z, X, Y".
Inserisci le coordinate del punto da trasformare (separate da virgole), quindi usa i pulsanti di opzione per selezionare l'ordine in cui verranno eseguite le rotazioni e infine inserisci gli angoli (in gradi) delle rotazioni intorno ad ogni asse.
Inserisci Coordinate del Punto:
Seleziona l'Ordine di rotazione:
X, Y, Z
X, Z, Y
Y, X, Z
Y, Z, X
Z, X, Y
Z, Y, X
Inserisci gli Angoli di Rotazione in Gradi
Rotazione sull'asse x: \( \theta_x \) = (Gradi)
Rotazione sull'asse y: \( \theta_y \)= (Gradi)
Rotazione sull'asse z: \( \theta_z \) = (Gradi)
Numero di Decimali:
Clicca