Trasformata di Fourier con Esempi
Indice
Definizione della Trasformata di Fourier
La trasformata di Fourier scompone una funzione del tempo (o un segnale) nel suo dominio di frequenza.
Matematicamente, è definita come [1], [2], [3]:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
Dove \( F(\omega) \) è la trasformata di Fourier della funzione \( f(t) \)
, \( \omega \) è la frequenza angolare e \( j \) è l'unità immaginaria definita come \( j = \sqrt {-1} \) .
Abbiamo anche la trasformata inversa di Fourier che prende \( F(\omega) \) e la trasforma di nuovo nel dominio del tempo:
\[ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
Esempio 1: Trasformata di Fourier di un’Onda Quadra
Consideriamo la funzione onda quadra \( f(t) \) definita da:
\[
f(t) = \begin{cases} 1, & \text{se } -\dfrac{T}{2} \leq t \leq \dfrac{T}{2} \\ 0, & \text{altrimenti} \end{cases}
\]
La trasformata di Fourier di \( f(t) \) è definita da:
\[
F(\omega) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-j\omega t} dt
\]
Valutiamo questa integrale:
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left[ e^{-j\omega t}\right]^{T/2}_{-T/2}
\]
\[
= \dfrac{1}{-j\omega} \left( e^{-j\omega \dfrac{T}{2}} - e^{j\omega \dfrac{T}{2}} \right)
\]
Usa la Formula di Eulero \( e^{j \; x} = \cos(x)+ j \; \sin(x) \) per riscrivere l'integrale sopra come
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left( \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) \right)
\]
\[
= \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
Quindi, la trasformata di Fourier della funzione onda quadra è:
\[
F(\omega) = \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
Questo è lo spettro di ampiezza della funzione onda quadra. Mostra come l'ampiezza delle diverse componenti di frequenza varia con la frequenza.
Esempio 2: Trasformata di Fourier della Funzione Seno
Trova la trasformata di Fourier di una funzione seno definita da:
\[ f(t) = A \sin( \omega_0 t) \]
Dove:
- \( A \) è l'ampiezza dell'onda sinusoidale,
- \( \omega_0 \) è la frequenza angolare dell'onda sinusoidale,
- \( t \) è il tempo.
La trasformata di Fourier di \( f(t) \) è data da:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
Sostituendo \( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \), otteniamo:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} A \sin( \omega_0 t) e^{-j\omega t} dt \]
Possiamo riscrivere la funzione seno usando la formula di Eulero:
\[ \sin(x) = \dfrac{e^{jx} - e^{-jx}}{2\;j} \]
Quindi, abbiamo:
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{j(\omega_0 - \omega t)} - e^{-j(\omega_0 t + \omega t)}) dt \]
Valutiamo questi integrali separatamente:
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2 \; j} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(\omega_0 t - \omega t)} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega_0 + \omega t)} dt \right) \]
Possiamo usare le proprietà della funzione Delta di Dirac per valutare questi integrali. Quando \( \omega = \omega_0 \), il primo integrale fornirà \( 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \), e il secondo integrale fornirà \( 2\pi \delta(\omega + \omega_0) \).
Pertanto, la trasformata di Fourier di \( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \) è:
\[ F(\omega) = -j \pi A (\delta(\omega - \omega_0) + j \pi A \delta(\omega + \omega_0)) \]
Questo risultato mostra che la trasformata di Fourier consiste di due impulsi localizzati alle frequenze \( \omega = \pm \omega_0 \), con ampiezze \( \pi A \).
Altri Riferimenti e Collegamenti
[1] - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
[2] - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
[3] - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
Formule per Serie e Trasformata di Fourier