Viene presentata un'analisi matematica dettagliata del filtro passa-basso passivo del primo e secondo ordine.
La matematica coinvolta nell'indagine dei filtri passa-basso del primo e secondo ordine è molto impegnativa. Tuttavia è incluso un
Calcolatore Grafico della Funzione di Trasferimento del Filtro Passa-Basso e può quindi essere utilizzato per ulteriore pratica.
\( \) \( \) \( \)\( \)
Impedenze dei Componenti Passivi
Le impedenze \( Z_R \) di una resistenza con resistenza \( R \) sono date da
\( \quad Z_R = R \)
Le impedenze \( Z_C \) di un condensatore con capacità \( C \) e le impedenze \( Z_L \) di un'induttanza con induttanza \( L \) sono date rispettivamente in forma complessa da:
\( \quad Z_C = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} = \dfrac{1}{ s \; C} \)
\( \quad Z_L = j \; \omega \; L = s \; L \)
dove \( s = j \; \omega \)
Funzione di Trasferimento del Filtro Passa-Basso del Primo Ordine
Consideriamo il circuito qui sotto. Man mano che la frequenza \( f \) del segnale in ingresso \( v_{in} \) diminuisce, la frequenza angolare \( \omega \; ( \; = \; 2\pi f ) \) diminuisce, l'impedenza del condensatore \( Z_{C_1} = \dfrac{1}{ s \; C} = \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \) aumenta e quindi la tensione ai capi di \( R \) si avvicina allo zero e la tensione \( v_{out} \) tende a un valore vicino a \( v_{in} \).
Man mano che la frequenza aumenta, l'impedenza del condensatore diminuisce a zero e quindi la tensione in uscita \( v_{out} \) tende a zero. Pertanto, il circuito RC in Figura 1 permette solo alle basse frequenze di passare all'uscita. È un filtro passa-basso.
Figura 1 - Filtro Passa-Basso RC
Sia \( H = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) la funzione di trasferimento.
Il circuito in Figura 1 è un divisore di tensione e utilizzando le impedenze in forma complessa, abbiamo
Nota che l'ordine di un filtro è dato dal massimo esponente di \( s \) nella funzione di trasferimento. Il massimo esponente di \( s \) in (I) sopra è uguale a \( 1 \) e quindi il filtro è di ordine 1.
\( H(\omega) \) è una funzione complessa nella forma del quoziente di due funzioni
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{Z_1}{Z_2} \)
Secondo i numeri compless
i, il modulo è dato da
\[ \qquad |H(\omega)| = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \]
e l'argomento (fase nei circuiti AC) è dato da
Argomento di \( H(\omega) \) = Argomento di \( Z_1 \) - Argomento di \( Z_2 \)
Nota che l'argomento (nei numeri complessi) e la fase (nei circuiti AC) sono la stessa grandezza.
Il modulo \( |H(\omega)| \) e la fase \( \Phi(\omega) \) della funzione di trasferimento \( H(\omega) \) in (II) sopra, sono dati da
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = \arctan(0) - \arctan \left(\dfrac{R_1 \; C_1 \; \omega}{1}\right) = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
La Frequenza di Taglio a \( - 3 \) dB del Filtro Passa-Basso del Primo Ordine
La frequenza angolare di taglio \( \omega_c \) è definita come la frequenza alla quale
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Sostituisci \( |H(\omega_c)| \) con la sua espressione trovata sopra per ottenere l'equazione
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Eleva entrambi i lati dell'equazione sopra al quadrato e riscrivi come
\[ \dfrac{1}{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2 } = \dfrac{1}{2}\]
Risolvi per ottenere la soluzione
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
Esempi di Filtro Passa-Basso del Primo Ordine
Sia \( R_1 = 100 \; \Omega \) e \( C_1 = 1 \; \mu F \)
Sostituisci \( R_1 \) e \( C_1 \) con i loro valori numerici per ottenere
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 \; C_1} = \dfrac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6} } = 10000 \; \text{ rad/s } \]
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(10^{-4} \times \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = - \arctan \left( 10^{-4} \times \; \omega \right) \]
Nota che per mostrare meglio una piattezza dell'ampiezza \( |H(\omega)| \) sulle frequenze consentite dal filtro, grafichiamo
\[ 20 \log_{10} (| H(\omega) |) \] la cui unità è il decibel scritto come \( dB \) su un grafico semi-logaritmico.
Alla frequenza di taglio \( \omega = \omega_c \), abbiamo
\[ |H(\omega_c)| = 20 \log_{10} \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = -3.01029 dB\]
e
\[ |\Phi(\omega_c)| = - \arctan ( 1) = - 45^{\circ} \]
Nota che \( \omega_c \) è chiamata frequenza di taglio a \( - 3 \text{ dB} \).
Pendenza del Grafico per Valori Elevati di \( \omega \)
Per valori elevati di \( \omega \), il termine \( (R_1 \; C_1 \; \omega)^2 \) è molto più grande di \( 1 \) e quindi possiamo fare la seguente approssimazione.
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega} \]
Per \( \omega = \omega_1 \), \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
Per \( \omega = 10 \; \omega_1 \), \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{10 \; R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
\[ 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{10}) = -20 \]
Il fattore \( 10 \) è un decennio e, quindi, diciamo che la pendenza del grafico è \( -20 \; \text{dB} \) per decennio.
I punti \( A \) e \( B \) nel grafico sotto illustrano i risultati sopra. Il punto \( A \) è alla frequenza \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) e il punto \( B \) è alla frequenza \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\). Mentre ci muov
iamo da \( A \) a \( B \), l'ampiezza diminuisce di \( 20 \; \text{dB} \).
Nota che questo comportamento si verifica per valori elevati di \( \omega \) sopra la frequenza di taglio.
Sotto sono mostrati il grafico di \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) e la fase \( \Phi(\omega) \).
Figura 2 - Funzione di Trasferimento del Filtro Passa-Basso del Primo Ordine
La fase \( \Phi \) è pari a \( -45^{\circ} \) a \( \omega = \omega_c \)
Figura 3 - Fase del Filtro Passa-Basso del Primo Ordine
Funzione di Trasferimento del Filtro Passa-Basso del Secondo Ordine
Analizziamo ora la funzione di trasferimento di due filtri passa-basso in cascata.
In generale, la funzione di trasferimento \( H(s) \) del circuito in cascata
mostrato di seguito
Figura 4 - Due Circuiti in Cascata
è data da
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 \; Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 \; Z_2} \qquad (I) \]
Usiamo ora la formula (I) sopra per trovare la funzione di trasferimento del filtro passa-basso del secondo ordine, che è un insieme di due filtri passa-basso in cascata, come mostrato di seguito.
Figura 5 - Filtro Passa-Basso del Secondo Ordine RC - RC
Sostituisci \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = Z_{C_2} = \dfrac{1}{C_2 \;s} \), \( Z_3 = R_3 \) e \( Z_4 = Z_{C_3} = \dfrac{1}{C_3 \;s} \) nella formula (I) sopra per ottenere
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
Nota che il termine di grado più alto di \( s \) è uguale a \( 2 \) e quindi il filtro è di ordine \( 2 \).
Sostituisci \( s = j \; \omega \) e \( s^2 = - \omega^2\) in \( H(s) \) sopra per ottenere
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \; \omega^2 + j \;(R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 ) \; \omega } \]
Sia
\[ A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \]
e
\[ B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 \]
e riscrivi \( H(\omega) \) come
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - A \omega^2 + j \;B \; \omega } \]
Il modulo e la fase di \( H(\omega) \) sono dati da
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
La Frequenza di Taglio a \( - 3 \text{ dB} \) del Filtro Passa-Basso del Secondo Ordine
La frequenza angolare di taglio \( \omega_c \) è la frequenza alla quale
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Sostituisci \( |H(\omega_c)| \) con la sua espressione sopra per ottenere l'equazione
\( \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega_c^2)^2 + (B\omega_c)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \)
Eleva entrambi i lati al quadrato e riscrivi l'equazione come
\( A^2 \omega_c^4 + (B^2 - 2 \; A) \; \omega_c^2 - 1 =0 \)
L'equazione sopra ha la forma quadratica in \( \omega_c^2 \) e quindi ha 4 soluzioni ma solo una è valida per questo problema ed è data da
\[ \omega_c = \sqrt {\dfrac{{- B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A^2}} \]
Riscrivi la soluzione sopra come
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt {\dfrac{{-B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 \; B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A}} \]
che può essere riscritta come
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { - \dfrac{B^2}{2 \; A} + 1 + \sqrt{ \dfrac{B^4}{4 \; A^2} - \dfrac{4 B^2 \; A}{4 \; A^2} + 8 \dfrac{A^2}{4 A^2} } } \]
Sia \( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} \) che dà \( B^2 =
4 \; A \; r^2 \) e \( B^4 = 16 \; A^2 \; r^4 \)
Sostituisci \( B^2 \) e \( B^4 \) nell'ultima espressione di \( \omega_c \) e semplifica per ottenere
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { 1 - 2 r^2 + \sqrt{ 4 r^4 - 4 r^2+ 2 } } \]
Inclinazione del Grafico per Valori Elevati di \( \omega \)
Prima espandiamo l'espressione nel denominatore di \( | H(\omega) | \)
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - 2 A \omega^2 + A^2 \omega^4 + B^2\omega^2 }} \]
Per valori elevati di \( \omega \), il termine \( A^2 \omega^4 \) è molto più grande di tutti i termini sotto la radice nel denominatore e, quindi, possiamo fare la seguente approssimazione.
\[ | H(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega^2} \]
Per \( \omega = \omega_1 \), \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega_1^2} \]
Per \( \omega = 10 \omega_1 \), \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; (10 \; \omega_1)^2} \]
\( 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{100}) = -40 \)
Il fattore \( 10 \) è un decennio e quindi diciamo che l'inclinazione del grafico è \( -40 \; \text{dB} \) per decennio.
Sotto sono mostrati il grafico di \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) e la fase \( \Phi(\omega) \).
I punti \( A \) e \( B \) nel grafico qui sotto illustrano i risultati sopra. Il punto \( A \) è alla frequenza \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) e il punto \( B \) è alla frequenza \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\). Mentre ci muoviamo da \( A \) a \( B \), l'ampiezza diminuisce di \( 40 \; \text{dB} \).
Figura 2 - Funzione di Trasferimento del Filtro Passa-Basso del Secondo Ordine RC-RC
Figura 3 - Fase del Filtro Passa-Basso del Secondo Ordine RC-RC
