Indice

Vengono presentati esempi su come utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere equazioni differenziali ordinarie (ODE). Uno dei principali vantaggi nell'utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere equazioni differenziali è che la trasformata di Laplace converte un'equazione differenziale in un'equazione algebrica.
Calcoli pesanti che coinvolgono la decomposizione in frazioni parziali sono presentati nell'appendice in fondo alla pagina.

Esempio 1
Utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere l'equazione differenziale \[ - 2 y' + y = 0 \] con le condizioni iniziali \( y(0) = 1 \) e \( y \) è una funzione del tempo \( t \).
Soluzione per l'Esempio 1
Sia \( Y(s) \) la trasformata di Laplace di \( y(t) \)
Prendere la trasformata di Laplace di entrambi i membri dell'equazione differenziale data: \( \mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s) \)
\( \mathscr{L}\{ -2 y' + y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usare la proprietà di linearità della trasformata di Laplace per riscrivere l'equazione come
\( - 2 \mathscr{L}\{ y'\} + \mathscr{L}\{ y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usare la proprietà della derivata per riscrivere il termine \( \mathscr{L}\{ y'\} = (s Y(s) - y(0)) \).
\( - 2 ( s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 0 \)
Espandere quanto sopra come
\( - 2 s Y(s) + 2 y(0) + Y(s) = 0 \)
Sostituire \( y(0) \) con il suo valore numerico dato
\( - 2 s Y(s) + 2 + Y(s) = 0 \)
Risolvere quanto sopra per \( Y(s) \)
\( Y(s) (1 - 2 s) = -2 \)
\( Y(s) = \dfrac{2}{2 s - 1} \)
\( Y(s) = \dfrac{1}{ s - 1/2} \)
Usiamo ora la formula (3) nella tabella delle formule della trasformata di Laplace per trovare la trasformata inversa di Laplace di \( Y(s) \) ottenuta sopra come
\( \displaystyle y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \)
Nota: Verificare la soluzione
verifichiamo che la soluzione ottenuta \( y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \) soddisfi l'equazione differenziale data
\( - 2 y' + y = - 2 ( (1/2) e^{\frac{1}{2} t } ) + e^{\frac{1}{2} t } \)
Semplificare quanto sopra
\( - e^{\frac{1}{2} t } + e^{\frac{1}{2} t } = 0 \) ; equazione differenziale soddisfatta.
\( y(0) = e^{\frac{1}{2} 0 } = e^0 = 1 \) ; valore iniziale anche soddisfatto.

Esempio 2
Utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere l'equazione differenziale \[ y'' - 2 y' -3 y = 0 \] con le condizioni iniziali \( y(0) = 2 \) e \( y'(0) = - 1 \) e \( y \) è una funzione del tempo \( t \).
Soluzione per l'Esempio 2
Sia \( Y(s) \) la trasformata di Laplace di \( y(t) \)
Prendere la trasformata di Laplace di entrambi i membri dell'equazione differenziale data
\( \mathscr{L}\{ y'' - 2 y' -3 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usare la proprietà di linearità della trasformata di Laplace per riscrivere l'equazione come
\( \mathscr{L}\{ y"\} - 2 \mathscr{L}\{ y'\} - 3 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usare le proprietà della prima e seconda derivata per riscrivere i termini \( \mathscr{L}\{ y"\} \) e \( \mathscr{L}\{ y'\} \) e semplificare il lato destro.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2 (sY(s) - y(0)) - 3 Y(s) = 0 \)
Sostituire \( y(0) \) e \( y'(0) \) con i loro valori numerici ed espandere
\( s^2 Y(s) - 2 s + 1 - 2 s Y(s) + 4 - 3Y(s) = 0 \)
Raggruppare i termini simili e mantenere i termini con \( Y(s) \) sul lato sinistro dell'equazione
\( s^2 Y(s) - 2 s Y(s) - 3 Y(s) = 2 s - 5 \)
Scomporre \( Y(s) \)
\( Y(s) (s^2 - 2 s - 3 ) = 2 s - 5 \)
Risolvere quanto sopra per \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} \)
Espandere il lato destro in frazioni parziali (vedi dettagli in Appendice A in fondo alla pagina)
\( Y(s) = \dfrac{7}{4\left(s+1\right)}+\dfrac{1}{4\left(s-3\right)} \)
Usiamo ora la formula (3) nella tabella delle formule della trasformata di Laplace per trovare la trasformata inversa di Laplace di \( Y(s) \), che è data da
\( \displaystyle y(t) = \dfrac{7}{4} e^{- t } + \dfrac{1}{4} e^{3 t } \)
È possibile verificare che la soluzione ottenuta soddisfi l'equazione differenziale e i valori iniziali dati.

Esempio 3
Utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere l'equazione differenziale \[ y'' + 2 y' + 2 y = 0 \] con le condizioni iniziali \( y(0) = -1 \) e \( y'(0) = 2 \) e \( y \) è una funzione del tempo \( t \).
Soluzione per l'Esempio 3
Sia \( Y(s) \) la trasformata di Laplace di \( y(t) \)
Prendere la trasformata di Laplace di entrambi i membri dell'equazione differenziale data
\( \mathscr{L}\{ y'' + 2 y' + 2 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usare la proprietà di linearità della trasformata di Laplace per riscrivere l'equazione come
\( \mathscr{L}\{ y"\} + 2 \mathscr{L}\{ y'\} + 2 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usare le proprietà della prima e seconda derivata per riscrivere i termini \( \mathscr{L}\{ y"\} \) e \( \mathscr{L}\{ y'\} \) e semplificare il lato destro.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 2 (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0 \)
Sostituire \( y(0) \) e \( y'(0) \) con i loro valori numerici ed espandere
\( s^2 Y(s) + s - 2 + 2 s Y(s) + 2 + 2 Y(s) = 0 \)
Raggruppare i termini simili e mantenere i termini con \( Y(s) \) sul lato sinistro dell'equazione
\( s^2 Y(s) + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = - s \)
Scomporre \( Y(s) \)
\( Y(s) (s^2 + 2 s + 2 ) = - s \)
Risolvere quanto sopra per \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{-s}{s^2 + 2 s + 2} \)
Scomporre il denominatore sui numeri complessi risolvendo prima l'equazione
\( s^2 + 2 s + 2 = 0 \)
che fornisce due soluzioni complesse
\( S_1 = -1 + j \) e \( s_2 = -1 - j \)
Scomporre
\( Y(s) = \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
Esp andere il lato destro in frazioni parziali (vedi Appendice B in fondo alla pagina)
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
con
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
e
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
Usare le formule nella tabella delle formule per trovare la trasformata inversa di Laplace di \( Y(s) = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \) che è data da
\( y(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t} \)
Scriviamo \( A \) e \( B \) in forma esponenziale
\( A = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j} \)
\( B = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j} \)
Sostituire \( s_1 \), \( s_2 \), \( A \) e \( B \) con i loro valori e riscrivere \( y(t) \) come
\( y(t) = (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j}) e^{(-1 + j) t} + (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j}) e^{(-1 - j) t} \)
Scomporre \( \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \) e raggruppare gli esponenti
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ e^{j t - \frac{3\pi}{4} j } + e^{-j t + \frac{3\pi}{4} j } \right] \)
Usare la formula di Eulero ( \( e^jx = \cos x + j \sin x \) ) per semplificare i termini tra parentesi
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ \cos(t - \frac{3\pi}{4}) + j\sin(t - \frac{3\pi}{4}) + \cos(-t + \frac{3\pi}{4}) + j\sin(- t + \frac{3\pi}{4}) \right] \)
che si semplifica in
\( y(t) = \sqrt 2 e^{-t} \cos(t - \frac{3\pi}{4}) \)
È possibile verificare che la soluzione ottenuta soddisfi l'equazione differenziale e i valori iniziali dati.

Esempio 4
Utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere l'equazione differenziale \[ y'' - y' - 2 y = \sin(3t) \] con le condizioni iniziali \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = -1 \).
Soluzione all'Esempio 4
Sia \( Y(s) \) la trasformata di Laplace di \( y(t) \)
Prendere la trasformata di Laplace di entrambi i lati dell'equazione differenziale data
\( \mathscr{L}\{ y'' - y' - 2 y \} = \mathscr{L}\{ \sin(3t) \} \)
Usare la proprietà di linearità della trasformata di Laplace per espandere il lato sinistro e utilizzare la tabella per valutare il lato destro.
\( \mathscr{L}\{ y''\} - \mathscr{L}\{ y'\} - 2 \mathscr{L}\{ y \} = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Utilizzare le proprietà della derivata prima e seconda per riscrivere i termini \( \mathscr{L}\{ y''\} \) e \( \mathscr{L}\{ y'\} \) e semplificare il lato destro.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Sostituire \( y(0) \) e \( y'(0) \) con i loro valori numerici ed espandere
\( s^2 Y(s) - s + 1 - s Y(s) + 1 - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Raggruppare i termini simili e mantenere i termini con \( Y(s) \) sul lato sinistro dell'equazione
\( s^2 Y(s) - s Y(s) - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
Estrarre \( Y(s) \) dal lato sinistro
\( Y(s) (s^2 - s - 2 ) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
Risolvere il precedente per \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2} \)
Estrarre il termine \( s^2 - s - 2 \) dal denominatore
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)} \)
che può essere espanso in frazioni parziali come (vedi Appendice C in fondo alla pagina per i dettagli).
\( Y(s) = \dfrac{3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)
Utilizziamo ora le formule nella tabella delle formule della trasformata di Laplace per trovare la trasformata di Laplace inversa di \( Y(s) \) che è data da
\( y(t) = \dfrac{3}{130} \cos(3t) - \dfrac{11}{130} \sin(3t) + \dfrac{9}{10} e^{-t} +\dfrac{1}{13} e^{2t}\)

Appendice

Appendice A

Decomposizione in frazioni parziali dell'esempio 2
Fattorizzare il denominatore
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{2s - 5}{(s-3)(s+1)} \)
Espandere in frazioni parziali
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{A}{s+1} + \dfrac{B}{s-3} \)
Moltiplicare tutti i termini sopra per \( (s-3)(s+1) \) e semplificare
\( 2s - 5 = A(s-3) + B(s+1) \)      (1)
Impostare \( s = 3 \) nell'equazione (1)
2(3) - 5 = A(3 -3) + B(3+1)
Semplificare e risolvere per \( B \)
\( B = 1/4 \)
Impostare \( s = - 1 \) nell'equazione (1) \( 2(-1) - 5 = A(-1-3) + B(-1+1) \)
Semplificare e risolvere per \( A \)
\( A = \dfrac{7}{4} \)

Appendice B

Decomposizione in fra zioni parziali dell'esempio 3
Decomposizione in frazioni parziali di \( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
Moltiplicare tutti i termini sopra per \( (s - s_1)(s - s_2) \) e semplificare
\( - s = A (s-s_2) + B(s - s_1) \)       (1)
Valutare l'equazione sopra in \(s=s_1 \)
\( - s_1 = A (s_1-s_2) + B(s_1 - s_1) \)
Semplificare
\( -s_1 = A (s_1-s_2) \)
Risolvere per \( A \)
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
Valutare entrambi i lati dell'equazione (1) in \( S = s_2 \) e trovare \( B \) in modo simile al trovare \( A \) sopra
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)

Appendice C

Espansione in frazioni parziali dell'esempio 4
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
Fattorizzare i denominatori
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)} \)
Semplificare il termine a destra
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} \)
Esprimere in frazioni parziali
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{As + B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
Moltiplicare tutti i termini sopra per il denominatore \( (s^2+3^2)(s-2)(s+1) \) e semplificare
\( 3 + (s^2+3^2)(s-2) = (As + B)(s-2)(s+1) + C (s^2+3^2)(s-2) + D (s^2+3^2)(s+1) \)     (1)
Selezionare i valori di \( s \) che semplificano i calcoli per i coefficienti \( A, B, C \) e \( D \)
Impostare \( s = 2 \) su entrambi i lati dell'equazione (1)
\( 3 + (2^2+3^2)(2-2) = (2 A + B)(2-2)(s+1) + C (2^2+3^2)(2-2) + D (2^2+3^2)(2+1) \)
Semplificare
\( 3 = 39 D \)
Risolvere per \( D \)
\( D = \dfrac{1}{13} \)
Impostare \( s = -1 \) su entrambi i lati dell'equazione (1)
\( 3 + ((-1)^2+3^2)(-1-2) = (-A + B)(-1-2)(-1+1) + C ((-1)^2+3^2)(-1-2) + D ((-1)^2+3^2)(-1+1) \)
Semplificare
\( 3 - 30 = - 30 C \)
Risolvere per \( C \)
\( C = \dfrac{9}{10} \)
Impostare \( s = 0 \) su entrambi i lati dell'equazione (1)
\( 3 +(0^2+3^2)(0-2) = (0 + B)(0-2)(0+1) + C (0^2+3^2)(0-2) + D (0^2+3^2)(0+1) \)
Semplificare
\( 3 - 18 = -2 B - 19 C + 9D \)
Sostituire \( C \) e \( D \) con i loro valori numerici ottenuti sopra e risolvere per B per ottenere
\( B = -\dfrac{33}{130} \)
Impostare \( s = 1 \) su entrambi i lati dell'equazione (1)
\( 3 + (1^2+3^2)(1-2) = (A + B)(1-2)(1+1) + C (1^2+3^2)(1-2) + D (1^2+3^2)(1+1) \)
Sostituire \( B, C \) e \( D \) con i loro valori numerici ottenuti sopra e risolvere per A per ottenere
\( A = \dfrac{3}{130} \)
Quindi
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)

\( \quad \quad = \dfrac{As}{s^2+3^2} + \dfrac{B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)

\( \quad \quad = \dfrac{ 3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)

Altri Riferimenti e Link